Matematické Fórum

Skrytý text:


Chceme spočítat třetí odmocninu čísla , předpokládám , kdyby , důkaz by se změnil minimálně (neukazoval bych, že posloupnost je rostoucí ale klesající a omezená zdola). Mějme posloupnost , . Ukažme, že tato posloupnost konverguje k číslu . Pokud tato posloupnost konverguje k nějakému číslu , pak

,

z toho . Zbývá ukázat, že posloupnost konverguje. Jistě platí . Pak také pro platí, že pokud , pak , protože



Indukcí jsem tak ukázal, že je posloupnost shora omezená číslem . Dále ukážu, že je posloupnost od dále rostoucí. Předpokládejme pro spor, že rostoucí není, tedy



Z toho ovšem plyne , což je spor s omezeností. Posloupnost je od rostoucí a omezená, proto má vlastní limitu. Jak postupovat při zadávání do kalkulačky snad už nemusím popisovat. :-)

Tato metoda nám po konečném kroku dá třetí odmocninu čísla n s přesností, kterou kalkulačka umožňuje. Pokud jde postup vylepšit, bude zlepšení jen v tom, že dosáhneme požadované přesnosti po menším počtu kroků.

Skrytý text:
Pěkné. Já jsem se k výsledku dostal jinak. Nejprve jsem se to snažil řešit klasicky Newtonovou metodou, ale protože jsem tvar nedokázal upravit tak, abych nemusel ukládat do paměti, tak jsem tento postup zavrhl. Pak jsem zkusil obecný předpis – doufal jsem, že po provedení limity a úpravě na kvartickou rovnici dostanu vhodnou volbou koeficientů kubickou rovnici . Tento postup vedl k cíli.

S pokročilejší kalkulačkou je vhodnější použít Newtonovu metodu, protože konverguje o dost rychleji. Jenže taková kalkulačka bude mít určitě i funkci třetí odmocniny :-).