Matematické Fórum

CarloSsS · 10. 12. 2011 14:46

Ahoj, chtel bych pozadat o zkontrolovani meho vypoctu nasledujici diferencialni rovnice. Jsem si celkem jisty ze az po vypocet vlastnich vektoru to mam dobre, takze prosim predevsim o kontrolu vypoctu vl. velktoru. Uz je to nekolik let co jsem mel lin. algebru a jak jsem se tak dival do sesitu, tak s takovymi maticemi jsme vlastni vektory ani neresili.
Zadani je vyresit nasledujici soustavu:
$y' = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array} \right) \cdot y$
Tedy matice s lambda bude mit tvar:
$y' = \left( \begin{array}{ccc} 0-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 0-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 0-\lambda\end{array} \right)$
Vyresim determinant teto matice a dostanu:
$-\lambda^3+3\lambda+2=0$

Reseni teto rovnice jsou:
$\lambda_1 = -1, \lambda_2=-1, \lambda_3 = 2$

Tak a tedka resim vlastni vektory:
pro $\lambda_1 = -1$
dostavam matici:
$\left( \begin{array}{ccc} 0-(-1) & 1 & 1 \\ 1 & 0-(-1) & 1 \\ 1 & 1 & 0-(-1)\end{array} \right)\Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array} \right)$
A tady si nejsem jist jak na to. V podstate se jedna o vyjadreni $u_1$ a $u_2$ z rovnice: $u_1+u_2+u_3 = 0$ . Ja jsem to udelal tak ze jsem si vyjadril:
$u_1 = -u_2-u_3$ , a za u2 jsem si rekl ze dam treba 0. Za u3 jsem si dal 1 a dostavam:
$u_1 = -u_3$
$u_1 = -1$
Jde to vubec takhle si dosadit co se mi chce za u3 i u2?
Takze dostanu vektor:
$u_I = (u_1,u_2,u_3) = (-1,0,1).$
Dalsi vec co me trapi je, jak pocitat vlastni vektor pro $\lambda_2 = -1$ . Podle wolframu se lisi vektory pro $\lambda_1=-1$ a $\lambda_2=-1$ . Takze hadam ze si za $u_2$ a $u_3$ proste jenom vymyslim jine cisla?
Ja jsem to udelal tak, ze jsem si dal $u_1=0$ a $u_3=1$ . Rovnice pro u2 bude tedy: $u_2 = -u_3$ , pak tedy dostanu $u_{II}=(0,-1,1)$ . Je to takto dobre?

CarloSsS

Opravdu nikdo nevi? Jde tu jenom o to jak dostat ty vlastni vektory. Proste zadrhel je, ze dostavam rovnici o trech neznamych:
$u_1+u_2+u_3=0$
a z ni musim nejak dostat hodnoty vlastniho vektoru daneho jako:
$(u_1,u_2,u_3)$
Zadrhel nastava, protoze sice vim, ze za $u_3$ si zvolim nejake cislo, ale jak dopoctu $u_1$ a $u_2$ z takoveto rovice?
Prosim poradte mi.

jelena · 11. 12. 2011 10:35

Zdravím,

celé jsem nekontrolovala, ale uvádíš, že problém je pouze v nalezení vlastní vektorů. Pro $\lambda_1=-1$ máš $u_1+u_2+u_3=0$ , ostatní řádky jsou vynulovány, tedy zavedeš 2 parametry (viz řešení soustavy lineárních rovnic).

Dle Tvého návrhu je první parametr $u_3=t$ ("si zvolím nějaké číslo"), druhý parametr $u_2=p$ ("si zvolím nějaké číslo"), $u_1$ dopočtu z rovnice $u_1+u_2+u_3=0$ . Tak vytvořil různé vlastní vektory také Wolfram, pro pořádek si můžeš překontrolovat, zda je splněna definice vlastního vektoru (odkaz je z 2. úvodního tématu sekce VŠ).

Je to v pořádku? Děkuji.

CarloSsS · 11. 12. 2011 14:14

↑ jelena:
To je presne to co jsem potreboval vedet. Dekuji.

jelena · 12. 12. 2011 00:03

↑ CarloSsS:

také děkuji, označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2011 14:46

Linearni diferencialni rovnice

#2 10. 12. 2011 23:42 — Editoval CarloSsS (11. 12. 2011 00:09)

Re: Linearni diferencialni rovnice

#3 11. 12. 2011 10:35

Re: Linearni diferencialni rovnice

#4 11. 12. 2011 14:14

Re: Linearni diferencialni rovnice

#5 12. 12. 2011 00:03

Re: Linearni diferencialni rovnice

Zápatí