Matematické Fórum

Kremilos · 26. 08. 2008 09:29

Určete rovnice afinního zobrazení f: A2-->A3 , jestliže vzhledem ke zvoleným afinním repérům se zobrazí

P=[0,0] --> f(P)=[1,0,0]
Q=[1,0] --> f(Q)=[0,1,0]
R=[0,1] --> f(R)=[0,0,1]

A určete obraz bodu [-2,3] v tomto zobrazení.

Kdyby prosím někdo věděl mohl by to tu vyřešit i s postupem? Moc byste mi pomohli. Díky :)

ttopi · 26. 08. 2008 10:05 — Editoval ttopi (26. 08. 2008 10:06)

To jsme letos brali, takže tě asi zachráním :-)

Obecné rovnice pro afinní zobrazení 2D do 3D jsou:
$x\prime=ax+by+c \nl y\prime=dx+ey+f \nl z\prime=gx+hy+i$

Ty znáš 3 vzory a jejich obrazy. Když to pro každý bod dosadíš, dostaneš rovnice:
bod P: $1=c \nl 0=f \nl 0=i$
bod Q: $0=a+c \nl 1=d+f \nl 0=g+i$
bod R: $0=b+c \nl 0=e+f \nl 1=h+i$

Z toho lehce dostaneš, že $a=-1 \nl b=-1 \nl c=1 \nl d=1 \nl e=0 \nl f=0 \nl g=0 \nl h=1 \nl i=0$

a sestavíš rovnice zobrazení, tedy:
$x\prime=-x-y+1 \nl y\prime=x \nl z\prime=y$

Bod [-2;3] se tedy zobrazí na $[0;-2;3]$

Kondr · 26. 08. 2008 10:11

Afinní zobrazení přiřadí vektoru v vektor f(v)=Av+u, kde A je nějaká matice a u nějaký vektor. Nulovému vektoru přiřadí A0+u=u, takže pro nás
u=1,0,0.
Zobrazení g(v)=f(v)-u=Av je lineární. Platí g(1,0)=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0), g(0,1)=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1). Matice tohoto zobrazení je tedy
.
Máme tedy
Vektor (x1,x2) se zobrazí na (-x1-x2+1,x1,x2), což jde přepsat do rovnic zobrazení:
y1=-x1-x2+1
y2=x1
y3=x2

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2008 09:29

Afinní zobrazení

#2 26. 08. 2008 10:05 — Editoval ttopi (26. 08. 2008 10:06)

Re: Afinní zobrazení

#3 26. 08. 2008 10:11

Re: Afinní zobrazení

Zápatí