Matematické Fórum

emko02 · 25. 08. 2008 08:14

prosim moc prosim, hoří mi termin zkoužky a po třeboval bych porsim vyřešit tyhle 4 příkladky, našel by se tu někdo tak hodnej?:( moc prosim.. http://forum.matweb.cz/upload/687-19.jpg

Marian · 25. 08. 2008 08:27 — Editoval Marian (25. 08. 2008 09:36)

↑ emko02:
(1)
$\lim_{n\to\infty}\left (\frac{3}{n}+1\right )^n=\lim_{n\to\infty}\left (1+\frac{3}{n}\right )^n=\boxed{\mathrm{e}^3},$
protože pro každé reálné číslo k platí identita $\lim_{n\to\infty}\left (1+\frac{k}{n}\right )^n=\mathrm{e}^k$ .

(2) Tady mi úloha připadá trochu zmatená. Nemohu příliš klást restrikce na "proměnnou" (v našem případě $\theta$ ) v limitě, nebo? limita se počítá nezávisle na tom, jakou množinu proměnná "probíhá". Tedy limitu musíme spočítat tak, že provedeme diskuzi vzhledem k n. mohou celkem nastat tři případy (čísla k_1 a k_2, která se ta vyskytnou zančí celá čísla):
(a) Nech? $n\neq k_1\pi ,\qquad n\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ . Pak
$L:=\lim_{\theta\to n}\frac{\tan 2\theta}{2\sin ^2\theta}=\boxed{\frac{\tan 2n}{2\sin ^2n}}.$
Jinak řečeno, lze dosadit, protože nedostáváme neurčitý výraz.
(b) Nech? $n=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\Rightarrow n\neq k_1\pi$ . Pak
$L=\frac{1}{2\sin ^2\left (\frac{\pi}{4}+\frac{k_2\pi}{2}\right )}\cdot\lim_{\theta\to\frac{\pi}{4}+\frac{k_2\pi}{2}}\nosmash\tan 2\theta =\frac{1}{2\sin ^2\left (\frac{\pi}{4}+\frac{k_2\pi}{2}\right )}\cdot\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}+k_2\p}\nosmash\tan \theta = \cdots \boxed{\mathrm{neexistuje}}.$
(c) Nech? $n= k_1\pi \Rightarrow\qquad n\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k_2\pi}{2}$ . Pak
$L=\lim_{\theta\to k_1\pi}\frac{\tan 2\theta}{2\sin ^2\theta}=\lim_{\theta\to k_1\pi}\frac{\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos 2\theta}}{2\sin ^2\theta}=\lim_{\theta\to k_1\pi}\frac{\tan\theta}{\cos 2\theta}=\frac{1}{\cos 2k_1\pi}\cdot\lim_{\theta\to k_1\pi}\nosmash\tan\theta =\frac{1}{1}\cdot 0=\boxed{0}.$
Jiný případ nenastává.

(3)
Vyšetřování průběhu funkce má mnoho bodů. Podíval bych se do vzorových příkladů na tomto fóru, popř. na stránka Roberta Maříka zde.

(4)

Dále se pak postupuje klasicky doplněním na čtverec, čili
$t^2+t+1=\left (t+\frac{1}{2}\right )^2+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\left (\left (\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right )^2+1\right ).$
Pak

Snad to nebylo příliš rychle, ale více času na toto nemám. Drobnosti a snad také dotazy k výpočtu jistě doplní rád někdo z kolegů :)