Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Vyšetřete absolutní konvergenci a konvergenci řady
Je to úloha 2682 z Děmidoviče. Absolutní konvergenci ještě zvládnu, ale nedaří se mi vyřešit neabsolutní konvergenci pro , nevíte někdo co s tím? :-)
Offline
Platí
Odtud
První nekonečná řada konverguje podle Dirichletova kriteria pro p>0, druhá je řada s kladnými členy a konverguje podle srovnávacího kriteria pouze pro p>1/2. Třetí řada jistě konverguje (podle srovnávacího kriteria) také pro p>1/2. Odtud je jasné, že řada konverguje neabsolutně pro , nebo? pro p>1 konverguje původní řada absolutně.
Offline
Díky moc. Co ale ? Jestli to dobře chápu, tak u tý třetí sumy využiješ toho, že pro velké n je
,
to ale dává pouze implikaci: Jestliže konverguje, pak konverguje.
Pro tedy třetí suma může divergovat a druhá diverguje a mohou se "odečíst" na nějaké konečné číslo.
Offline
↑ BrozekP:
Dá se to popotáhnout trochu dále a pak je už vidět, že pro p<1/2 řada diverguje. Mám to před sebou, ale nebudu na 'netu dříve než zítra odpoledne. Navíc to souhlasí s výsledky v Děmidovičovi. Ale přesně na podobný problém o odečtení divergentních sum na konečné číslo jsem narazil.
Postarám se o příspěvek bez Landauových symbolů.
Offline
Uvedu podrobnější řešení úlohy o konvergenci řady 2682. Provedu jistou transformaci a využiji v závěru oné transformace fakt, že p>0, což je možné předpokládat již nyní, protože řada je divergentní pro p<0.
Transformuji takto:
V posledním řádku výpočtu máme dvě nekonečné řady. Ta první je pro p>0 konvergentní podle Dirichletova kriteria pro nekonečné řady ve tvaru . U druhé řady je zase vidět, že se nutně jedená o řadu s kladnými členy, jejíž konvergenční charakter je tedy stejný jako konvergenční charakter původní nekonečné řady z Děmidoviče pro p>0. Platí navíc
přičemž poslední řada konverguje právě tehdy, když konverguje řada , což je vidět snadno z hodnoty limity
Tedy původní řada konverguje pro p>1/2. Absolutní konvergence je snažší.
Offline
Pokud diverguje, pak diverguje , ale z toho neplyne, že diverguje i . Zkusim se na to podívat, to už snad nebude těžký.
EDIT: smazal jsem svůj chybný postup.
Offline
Díky moc, teď už to vidim.
Offline