Matematické Fórum

Vektory určitě generují nějaký VP, jde asi o to určit, zda generují celý .
Budeme postupovat stejně jako nad R, napíšeme si je po řádcích nebo sloupcích do matice a budeme zjiš?ovat, jakou má hodnost (sloupcové řešení má výhodu v tom, že snadno najdeme rovnice lineárních závislostí mezi nimi, pokud nějaké jsou, nám ale bude stačit řešení řádkové)

Vyeliminujeme první sloupec:
1 3 2 1
0 1 0 4
0 3 0 1
0 4 1 0
0 3 1 1

Vyeliminujeme druhý sloupec:
1 3 2 1
0 1 0 4
0 0 0 4
0 0 1 2
0 0 1 4

Odtud už vidíme, že matice má hodnost 4, vektory generují celý .

↑ Koty:Samozřejmě, hodnost 4. To, že pracujeme nad tělesem znamená, že čísla v matici nejsou reálná čísla, ale zbytkové třídy mod 5 (tj. platí pro ně 2*3=1, 4+3=2, 2*3^(-1)=4, atd.)

Platí, že pokud je matice regulární nad , je regulární i nad , naopak ale ne.

↑ Koty:Já taky ne :). To, že je "prostor nad tělesem T" neříká nic o jeho dimenzi.

Zadání si člověk občas musí domyslet, aby dávalo smysl. Číslo 4 jsem si domyslel proto, že vektory jsou čtyřsložkové, leží všechny v , nemohou generovat nic většího. Takže bych čekal, že autor chtěl důkaz toho, že generují celý .