Matematické Fórum

TAJNaholkA · 26. 08. 2008 21:18

Je dána kružnice k: $x^2 + y^2 = 5$ a primka
p: $x=a - 2 - 2t ; y= 1+t$ urcete hodnotu parametru a tak, aby byla tecnou dane kruznice
Tohle je priklad kde nevim ani jak zacit...totalne.

Marian · 26. 08. 2008 21:22 — Editoval Marian (26. 08. 2008 21:43)

Kružnice se dotýká přímky, jestliže mají jediný společný bod. Tento bod má tu vlastnost, že vyhovuje rovnici kružnice (leží na ní), ale také vyhovuje rovnici (popř. parametrickým rovnicím - to je náš případ) přímky, tj. bod leží také na této přímce. Proto lze ztotožnit x-ovou souřadnici bodu na přímce (první parametrická rovnice přímky) s x-ovou sořadnicí na kružnici. Totéž pro y-ovou souřadnici. Zjednodušeně řečeno, dosadíme pravé strany paprametrických rovnic do rovnice kružnice:

Zpravidla se upravením dostane kvadratická rovnice (s proměnnou t a parametrema). Úprava (umocnění, sečtení příslušných členů, popř. odečtení) dává toto:

Protože hledaný bod je bodem dotyku ke kružnici, musí mít kvadratická rovnice jediné řešení a to nastává právě tehdy, když je její diskriminant roven nule. Pozor ale na koeficienty, tady máme už parametr a. Označím raději koeficienty této kvadratické rovnice velkými písmeny, tedy A, B, C. Platí pro ně (podívej se na poslední rovnici):
$A=5,\quad B=-4a+10,\quad C=a^2-4a.$
Vypočteme diskriminant D kvadratické rovnice a položíme jej roven nule:
$D=B^2-4AC=(-4a+10)^2-4\cdot 5\cdot (a^2-4a)=\cdots =\boxed{-4a^2+100=0}.$
Poslední rovnice je kvadratická rovnice s neznámou a, kterou jistě snadno vyřešíš. Prozradím, že dostaneš jako řešení dvě reálná čísla, to jsou hledané hodnoty parametrů. Čili takové přímky budou celkem dvě. Hodnoty áček dosadíš pak do parametrických rovnic přímky a to je také řešení tvé úlohy.

jarrro · 26. 08. 2008 21:37 — Editoval jarrro (26. 08. 2008 21:39)

je to jednoduche aby bola priamka dotyčnicou ku kružnici je nutné a stačí,aby jej vzdialenos? od stredu kružnice bola rovná jej polomeru poďme upravova? $x=a-2-2t\nl\underline{y=1+t}\nlx=a-2-2$y-1$\nlx=a-2-2y+2\nlx+2y-a=0$ keď použijeme vz?ah $\|A,p\|=\frac{\|ax_A+by_A+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ dostaneme $\frac{\|-a\|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\nla=\pm 5$ edit:prepáč marian som si nevšimol,že pracuješ

Marian · 26. 08. 2008 21:44 — Editoval Marian (26. 08. 2008 21:45)

↑ jarrro:
Taky se dá.

Nevadí, alespoň máme dvě řešení, tvé je rychlejší, mé mi připadá elementárnější. Jen ti tam trochu koliduje značení v těch áčkách.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2008 21:18

Kruznice o5

#2 26. 08. 2008 21:22 — Editoval Marian (26. 08. 2008 21:43)

Re: Kruznice o5

#3 26. 08. 2008 21:37 — Editoval jarrro (26. 08. 2008 21:39)

Re: Kruznice o5

#4 26. 08. 2008 21:44 — Editoval Marian (26. 08. 2008 21:45)

Re: Kruznice o5

Zápatí