Matematické Fórum

yessica · 12. 12. 2011 14:52

Ahoj, potřebovala bych pomoc s příkladem :

$\text{f:x}=x+2\sqrt{x}+1$
$\text{g:y}=(x+9)^{2}$

a složená funkce $m=f (g(x))$ .
určete inverzní funkci $m^{-1}$ . Pak se $m^{-1}(81)$ rovná ???

-zkoušela jsem se nějak s tím poprat, bohužel funkce mi absolutně nejdou. Takže jsem došla k složením fcí. k:
$m=(x+9)^{2}+2\sqrt{(x+9)^{2}} + 1$ . Doufám, že alespoň to skládání mám dobře, nevím :o) Potom tedy za x dosadím y, to už snad přepisovat nemusím :o) ale jak dáál?? :-)

Děkuji za pomoc :o)

rleg · 12. 12. 2011 15:25

↑ yessica: já bych to umocnil, roznásobil a sečetl
$m=x^2+18x+81+2(x+9)+1=x^2+20x+100$

yessica · 12. 12. 2011 15:38

↑ rleg:
:o) ajo hned to vypadá líp , v tom vidím, že : $x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$ :o)

tzn. $(x+10)^{2}$ :o) jestli to je teda něco platné :-)

a jestli počítám rovnici správně, pak mi kořen rovnice vychází -1O

Phate · 12. 12. 2011 15:53

Myslim, ze ta uprava, kterou navrhuje ↑ rleg: neni ekvivalentni, po umocneni by tam mela byt absolutni hodnota, ovsem to nam dost zkomplikuje zivot. Dulezite take je, ze funkce m neni prosta, tudiz jeji inverzni funkce neexistuje, je prosta pouze na intervalu $(- \infty, -9]$ a $[-9, \infty)$ a jejich podintervalech. Proto se po nas asi chce, abychom hledali funkci inverzni na $[-9, \infty)$ a nemusime se pak zabyvat tou absolutni hodnotou

yessica · 12. 12. 2011 18:15

:o) nerozumím řeči vašeho kmene :o)

Phate · 12. 12. 2011 18:37

↑ yessica:
tak to asi budeme muset zakopat valecnou sekeru a zkusit to trochu vic cesky :]
V zadani se po nas chce, abychom nasli inverzni funkci k $m$ a vime, ze abychom mohli z funkce udelat funkci inverzni, tak tato funkce musi byt prosta. Prosta znamena, ze pro zadne dve x z definicniho oboru funkce nenabyva stejne hodnoty.

Priklad funkce, ktera je prosta:

Mame funkci $y=x^3$ . Tato funkce je rostouci na celem definicnim oboru a proto je prosta, tedy lze k ni udelat inverzni funkci.

Priklad funkce ktera neni prosta:

Tato funkce, neni prosta, protoze napriklad pro x=1 a x=-1 je f(x)=1, tedy pro dve x ma stejnou funkcni hodnotu, hodnotu na ose y. Proc je toto problem? Je to problem proto, ze inverzni funkce nam zamenuje definicni obor s oborem hodnot a prevraci funkci v osove soumernosti s osou y=x, osou prvniho a tretiho kvadrantu. Kdyz bychom funkci x^2 takto prevratili, tak by nam davala pro jedno x dve ruzne hodnoty y a takova funkce nemuze existovat, protoze by to nebyla funkce ale relace a to urcite nechceme. Z tohoto duvodu kdyz delame funkci funverzni k funkci x^2, tedy $\sqrt{x}$ , tak delame inverzni funkci jen pro nezaporna x ve funkci x^2. Tato nezaporna "vetev" bude prostou funkci a pujde ji udelat funkci inverzni. To je stejny pripad jako ve tvem priklade. Mas funkci, ktera neni prosta a mas k ni nalezt funkci inverzni, tak si to bude chtit vzit nejaky interval, na kterem prosta je. Jinak graf tve funkce je asi takovy:

Je potreba trochu odscrollovat az k -9

Matematické Fórum

#1 12. 12. 2011 14:52

Inverzní funkce

#2 12. 12. 2011 15:25

Re: Inverzní funkce

#3 12. 12. 2011 15:38

Re: Inverzní funkce

#4 12. 12. 2011 15:53

Re: Inverzní funkce

#5 12. 12. 2011 18:15

Re: Inverzní funkce

#6 12. 12. 2011 18:37

Re: Inverzní funkce

Zápatí