Matematické Fórum

petra006 · 12. 12. 2011 16:42

Mohli byste mi prosím poradit na postup při řešení tohoto příkladu? Děkuji moc.

Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC, jestliže znáte vrchol A[-1; -2] a obecné rovnice přímek, na kterých leží těžnice $t_{b}:x+2y-1=0; t_{c}: y-4=0$

vanok · 12. 12. 2011 17:11 — Editoval vanok (12. 12. 2011 17:41)

ahoj ↑ petra006:,
Obrazok maze pomoct!
Najprv najdi priesek T (tazisko trojuholnika) tvojich priamok (taznic)
Potom vyjadri rovnicu priamky (AT)

A teraz vyuzi co vies o tazisku : Tazisko deli taznicu na...
Staci?

petra006 · 12. 12. 2011 17:37

No ale já právě nevím jak zjistit to těžiště. Mohl by si to trochu upřesnit prosím? A co myslíš bodem D?

vanok · 12. 12. 2011 17:43 — Editoval vanok (12. 12. 2011 17:43)

↑ petra006:,
D, to bol preklep sppravne je T

Aby si urcila T vyries tento system

$x+2y-1=0$
$y-4=0$

petra006 · 13. 12. 2011 06:30

Omlouvám se, že zase otravuju, nemůžu na to ale pořád přijít. Nechápu k čemu mám využít rovnici AT. Nešlo by ten bod A vynechat? Děkuji za jakoukoli radu.

marnes · 13. 12. 2011 07:51 — Editoval marnes (13. 12. 2011 07:52)

↑ petra006:

Já bych trojúhelník ABC doplnil na rovnoběžník ADBC, kde CD je 2x tc.
Bod T je průsečík těžnic tc a tb.
Bod T´je průsečík težnic tb a tc v ADB
Bod T´zjistíme jako průsečík tc a přímkou rovnoběžnou s tb procházející bodem A.
Střed TT´je střed AB, takže pak lehce bod B
Bod T je střed TĆ, takže dopočítáš bod C

Cheop · 13. 12. 2011 09:39 — Editoval Cheop (13. 12. 2011 15:15)

↑ petra006:
1) Určíš souřadnice těžiště jako průsečík zadaných těžnic tj řešíme rovnice:
$x+2y-1=0\\y-4=0$
2) Určíš vzdálenost těžiště od bodu A jako vzdálenost dvou bodů
$|TA|=\sqrt{(x_A-x_T)^2+(y_A-y_T)^2}$
3) Určíš rovnici těžnice t_a (bude procházet body A a T
4) Víš, že těžiště dělí těžnici v poměru 2:1 tj. vzdálenost středu strany BC od těžiště = |TA|/2 (těžnice prochází středem strany)
Platí:
$\sqrt{(x-x_T)^2+(y-y_T)^2}=\frac{|TA|}{2}$
5) Střed strany BC bude průsečíkem těžnice t_a z bodu 3) a kružnice z bodu 4) = S_a
6) Bod B bude mít souřadnice (x; y) a bude ležet na těžnici t_b
7) Bod C bude mít souřadnice (x; 4) - leží na těžnici t_c s rovnicí $y=4$
8) Musí platit: $|BS_a|=|CS_a|$
řešíme: $(x-x_{Sa})^2+(y-y_{Sa})^2=(x-x_{Sa})^2+(4-y_{Sa})^2$ - tím vypočítáme y-ovou souřadnici bodu B
9) x-ovou souřadnici bodu B dopočteme dosazením y-ové souřadnice bodu B do rovnice těžnice t_b tj. do rovnice $x+2y-1=0$
10) Určíme rovnici strany BC procházející body B a S_a
11) Dopočteme x-ovou souřadnici bodu C jako prusečík těžnice t_c a strany BC

Pokud budeš dobře počítat mělo by vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PS: Docela pěkná úloha z analytiky

vanok · 13. 12. 2011 09:51 — Editoval vanok (13. 12. 2011 09:55)

Ahoj ↑ petra006:,
Rovnica priamky (AT) je rovnica $t_a$ podla znacenia cvicenia
vieme ze : Tazisko T deli usecku taznicu z vrcholu $A$ , $[t_a]$ na dve casti v pomere 2 ku 1
|AT|=2|TA'|, kde $A'$ je stred strany $[BC]$ .
... co ti umozni urcit suracdnice toho stredu $A'$ strany $[BC]$ .

A teraz treba vyuzit vyuzit nejaku geometricku konstrukciu bodov $B$ a $C$ ... aby sme potom mohli vypocitat ich suradnice.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Urob tuto etapu a napis ak nevies ako pokracovat.

vanok · 13. 12. 2011 10:00

↑ petra006:
Ah vidim ze kolega ↑ Cheop: tu dal cely postup.
Tak to vyuzi.

vanok · 13. 12. 2011 18:47

↑ vanok:,
Ukazem tu ako by som pokracoval z mojou metodou.
Zacnem ANALYSOU situacie.
Ak $ABC$ existuje tak jeho symetricky obraz centralnou symetriou s okolo bodu A' ( stred strany [BC] )
je trojuholnik $s(A)s(B)s(C)$ (PRACUJ Z OBRAZKOM)
je jasne ze s(B)=C, s(C)=B ; polozme D=s(A)
Obraz taziska T, s(T) oznacme T': je to pochopitelne tazisko trojuholnika $CBD$ . ( to znamena ze suradnice bodu T' sa lahko daju vypocitat... A' je stred [TT'])
Taznice v CBD z bodov C a B $t'_c$ a $t'_b$ su paralelne z $t_a$ a $t_b$ ( akoze obsahuju bod T', ich rovnice sa lahko pocitaju)
Nakoniec som isty ze z tohto najdes ako urcit body B et C