Matematické Fórum

Tue09 · 15. 10. 2011 17:50

Dobrý den, narazil jsem na příklad, u kterého si nevím rady. Vlastně ani moc nechápu to zadání, pokud by mi byl někdo ochotný pomoci, jak postupovat či něco podobného, budu jenom rád.

Určete nejmenší možné číslo N tak, že už není možné rozměnit 1 dolar na přesně N mincí. Můžete použít půldolary (50 centů), čtvrtdolary (25 centů), deseticenty, pěticenty a centy.

Pavel Brožek

↑ Tue09:

Máme určit nejmenší. Tak začněme od toho nejmenšího N=2 (kdyby N=1, tak to nebude rozměnění) a postupujme k vyšším.

N=2: Dolar lze rozměnit na dva půldolary (to jsou dvě mince).
N=3: Dolar lze rozměnit na půldolar a dva čtvrtdolary (to jsou tři mince).
N=4: Dolar lze rozměnit na čtyři čtvrtdolary (to jsou čtyři mince).
...

U jakého N už nebude možné dolar rozměnit na N mincí? To je otázka.

Tue09 · 15. 10. 2011 21:16

Děkuji moc. Už u toho sedím ale jakou dobu, jsem u čísla 15 a s vidinou toho, že bych to musel počítat číslo po číslu až do zítra mě moc neláká. Není na to nějaký rychlý postup, který to číslo určí nějak rychleji nebo ten dolar těmi mincemi N poskládám rychleji?

halogan · 15. 10. 2011 22:30

Tak ono se to dá trochu zrychlit, když si šikovně vyberete mince, které se dají dobře dělit. Např.:

(předpokládejme, že prvních 9 jste ošetřil.)

Jeden dolar je 10 deseticentů. Když postupně budu dělit deseticenty na dva pěticenty, bude mi vždy jeden přibývat. Tak se dostanu na N = 20.

Teď vemu 9 deseticentů a ten desátý rozměním na 10 centovek. Mám 19 mincí a postupně jako předtím dělím ty deseticenty. Jsem na N = 28.

8 deseticentů a 20 centovek, dostávám se na 36.

30 centovek a 7 deseticentů, jsem na 44.

Teď nějak poskládat 45 mincí a můžeme jít dál.

Tue09 · 16. 10. 2011 13:37

Děkuji. Vím že to asi není účelem toho příkladu, ale nevěděli byste někdo výsledek už prosím? Rád bych se posunul dál, ale to, že nebudu vědět výsledek mě bude znepokojovat a moc času na počítání jednoho a toho samého příkladu také nemám. Děkuji.

vanok · 16. 10. 2011 14:29 — Editoval vanok (16. 10. 2011 23:56)

Tento zaujimavy problem mi pripomenul tento vseobecnejsi problem:
Dokazte ze ak $A_n$ je pocet rieseni Diophantickej rovnice
$x+5y+10z+25u+50v=n$ v $N$
potom nekonecna rada $A_0 + A_1z + A_2z^2 + ... + A_nz^n + ...$ je representovana rationalnov funkciov zo $z$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Srdecne Vanok

vanok · 20. 10. 2011 11:06 — Editoval vanok (23. 10. 2011 13:06)

↑ vanok: Tak maly navrat k problemu
Ako sa da jednoducho zistit $A_n$ ?
Je iste viac metod.
Ja vam tu dam jednu: Je to coficient z $x^n$ v tomto sucine

$(1+ x+ x^2+ x^3+ x^4+... )$ * $(1+ x^5+ x^{10}+ x^{15}+...)$ * $(1+ x^{10}+ x^{20}+ x^{30}+...)$ * $(1+ x^{25}+ x^{50}+...)$ * $(1+ x^{50}+ x^{100}+...)$

Vsimnite si ako je vytvoreny tento sucin
V prvej zatvorke sa mocniny z x su 0, 1, 2, 3, 4 ( aritmeticka postupnost z diferenciou 1) a tak ide o geometricku radu ktore ma sumu $\frac1{1-x}$
V druhej su 0, 5, 10, ...

Ze je to vam jasne teraz.

Formalne tento sucin je :
$\frac1{1-x} \frac1{1-x^5}\frac1{1-x^{10}}\frac1{1-x^{25}}\frac1{1-x^{50}}$
a je jasne ze jej rozvoj $\sum_{n=0}^{\infty} A_nx^n$ nam da vsetki $A_n$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Srdecne Vanok

vanok · 23. 10. 2011 12:51 — Editoval vanok (23. 10. 2011 13:03)

↑ vanok:
Ako som slubil, davam tu priklad ako konkretne nast $A_{14}$
Z tohto sucinu staci zobrat v kazdom faktory "odrezat " sumy tak ze sa $x^k$ pre $k >14$ jednoducho ignoruju vsetki take monomy
$(1+ x+x^2+ x^3+ x^4+... )$ $(1+ x^5+ x^{10}+ x^{15}+...)$ $(1+ x^{10}+ x^{20}+ x^{30}+...)$ $(1+ x^{25}+ x^{50}+...)$ $(1+ x^{50}+ x^{100}+...)$

Tak staci len nast coeficient z $x^{14}$ v sucine
$(1+x= x^2+ x^3+ x^4+x^5+x^6+ x^7+ x^8+x^9+x^{10}+ x^{11}+x^{12}+x^{13}+ x^{14} )$ $(1+ x^5+ x^{10})(1+ x^{10})*1*1=$ $x^{34}+ x^{33}+ x^{32}+ x^{31}+ x^{30}+ 2 x{29}+ 2 x^{28}+ 2 x^{27}+ 2 x^{26}+$ $2 x^{25}+ 4 x{24}+ 4 x^{23}+ 4 x^{22}+ 4 x^{21}+ 4 x^{20}+ 4 x^{19}+ 4 x^{18}+ 4 x^{17}$ $+ 4 x^{16}+ 4 x^{15}+ 4 x^{14}+ 4 x^{13}+ 4 x^{12}+ 4 x^{11}+ 4 x^{10}$ $+ 2 x^9 + 2 x^8 + 2 x^7 +2 x^6 + 2 x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

v tomto sucine PLATNE COEFICINTY SU LEN pre k= 1; 2,..., 14
a preto sa netreba namahat a pocitat koeficienty pre $k>{14}$

Odpoved na otazku co kolko rieseni ma nasa rovnica pre n= 14, je 4: tak za uvedenych podmienok mozme "zaplatit"sumu 14 cts 4mi sposobmy

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Srdecne Vanok

vanok · 23. 10. 2011 20:41 — Editoval vanok (24. 10. 2011 17:49)

Ahoj ↑ Tue09:, NIE CELKOM DOBRA NOVINKA

V mojom probleme $A_{100}$ je 292, tak na riesenie tvojho problemu treba prestudovat najviac 292pripadov

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Srdecne Vanok

vanok · 27. 10. 2011 14:01 — Editoval vanok (16. 12. 2011 00:27)

↑ vanok:,
Ako som slubil pokracujem moje matematicke prechadzky na podobne tematiky

Zda sa mi ze Sierpincki polozit takuto ulohu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Najdite najvadcie prirodzene n pre ktore nema rovnica
$3x + 5y = n$ , $(x,y>0$
riesenie.

Som isty ze niekto to tu vyriesi.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

edit oprava preklepu

miso16211

šak 100 centy, dollar rozdelim na 100 centiki - 100 minci, či mince sa nemôžu opakovať?

a najmenšie je 2 či 100 ?

vanok · 29. 10. 2011 22:21

Ahoj ↑ miso16211:,
Asi si precital trochu nepozorne problem od↑ Tue09:, ide o to aby sa naslo take najmensie mozne cislo N (pocet minci) ze je nemozne rozmenit 100cts pomocou dovolenych minci.
Inac som tu navyse riesil trochu iny problem ↑ vanok: ... ktory je tiez zaujimavy, a v niecom sa pripomina povodny problem.
A posledny problem sa tyka podobnej tematiky je ↑ vanok: ktory tu coskoro vyriesil, le kazdy moze nan dat svoje riesenie.

Srdecne Vanok

vanok · 12. 12. 2011 13:23 — Editoval vanok (16. 12. 2011 00:26)

↑ vanok:,
Tento problem stale caka na riesenie:

Najdite najvadcie prirodzene n pre ktore nema rovnica
$3x + 5y = n$ , $(x,y>0$
riesenie.

Indikacia

Najprv studujte tri pripady
a) $x=3k$ , $y=3$ a $k>5$
b) $x=3k+1$ , $y=2$ a $k>3$
c) $x=3k+2$ , $y=1$ a $k>1$

Niekoho to inspiruje?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

standyk · 13. 12. 2011 09:40

↑ vanok:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 13. 12. 2011 11:05

↑ standyk:,
V tomto priklade $n>0$
Ale sa nedivim lebo ak citas aj inojazycne knihy pojem prirodzeneho cisla sa meni podla narodnosti.
Mozno by bolo treba urobit tabulku podla zvyklosti.
Podobny problem je aj zo slovamy kladny. Podla jazyka ide o ostru alebo neostru nerovnost...

standyk · 13. 12. 2011 11:11

↑ vanok:

Ale veď ja beriem $n>0$ . Nemyslíte náhodou, že x,y majú byť tiež prirozdené (čiže rôzne od nuly)?
Asi som len nepochopil poriadne zadanie úlohy. :)

vanok · 13. 12. 2011 11:21

↑ standyk:
Ano x, y nenulove niesenia.
Teraz iste pochopis moj navod na 100%.
Som rad ze sa zaujimas o taketo problemy.

standyk

↑ vanok:

Áno áno chápem. :D Máte pravdu.
Pekná otázka by možno bola, koľko riešení má rovnica: $3x+5y=n$ ak $x,y \in \mathbb{N}_0$

vanok · 13. 12. 2011 11:50

↑ standyk:,
prave ze existuje ... skus najst pre 30 napriklad
pozri na moj navod: (a)
Vidim ze sa z tym trochu pobavis.
Musim teraz ist vecer odpoviem ak nenajdes dokonale riesenie!

standyk · 13. 12. 2011 14:05

↑ vanok:

ǎno, už viem. Potom na to napadlo že pre násobky 15 už dokážeme také nájsť. :)

vanok · 16. 12. 2011 00:25

Najdite najvadcie prirodzene n pre ktore nema rovnica
$3x + 5y = n$ $(x,y>0)$
riesenie.

RIESENIE

Najprv studujme tri pripady
a) $x=3k$ , $y=3$ a $k>5$ , mame $3x + 5y = n$
b) $x=3k+1$ , $y=2$ a $k>3$ , mame $3x + 5y = n$
c) $x=3k+2$ , $y=1$ a $k>1$ , mame $3x + 5y = n$

To znamena ze rovnica $3x + 5y = n$ ma riesenie pre $n>15$ .

Akoze
$3*1+5*1=8$
$3*2+5*1=11$
$3*3+5*1=14$
Pre n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nasa rovnica nema riesenie.
Pre n = 9, musi 3|5y a tak 3|y co znamena 15|5y a n=3x+ 5y>15, co je nemozne.
Toto plati aj pre n=12 a n=15.
A na koniec, pre n=10 musi 5|3x, a tak 5|x a z toho 15|3x a 15|n=3x+ 5y>15, co je nemozne.

dosledok:Najvadcie n, pre ktore nema rovnica $3x + 5y = n$ $(x,y>0)$ riesenie je
$n=15$

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2011 17:50

Určení čísla N

#2 15. 10. 2011 18:11 — Editoval Pavel Brožek (15. 10. 2011 18:12)

Re: Určení čísla N

#3 15. 10. 2011 21:16

Re: Určení čísla N

#4 15. 10. 2011 22:30

Re: Určení čísla N

#5 16. 10. 2011 13:37

Re: Určení čísla N

#6 16. 10. 2011 14:29 — Editoval vanok (16. 10. 2011 23:56)

Re: Určení čísla N

#7 20. 10. 2011 11:06 — Editoval vanok (23. 10. 2011 13:06)

Re: Určení čísla N

#8 23. 10. 2011 12:51 — Editoval vanok (23. 10. 2011 13:03)

Re: Určení čísla N

#9 23. 10. 2011 20:41 — Editoval vanok (24. 10. 2011 17:49)

Re: Určení čísla N

#10 27. 10. 2011 14:01 — Editoval vanok (16. 12. 2011 00:27)

Re: Určení čísla N

#11 29. 10. 2011 20:17 — Editoval miso16211 (29. 10. 2011 20:19)

Re: Určení čísla N

#12 29. 10. 2011 22:21

Re: Určení čísla N

#13 12. 12. 2011 13:23 — Editoval vanok (16. 12. 2011 00:26)

Re: Určení čísla N

#14 13. 12. 2011 09:40

Re: Určení čísla N

#15 13. 12. 2011 11:05

Re: Určení čísla N

#16 13. 12. 2011 11:11

Re: Určení čísla N

#17 13. 12. 2011 11:21

Re: Určení čísla N

#18 13. 12. 2011 11:38 — Editoval standyk (13. 12. 2011 11:47)

Re: Určení čísla N

#19 13. 12. 2011 11:50

Re: Určení čísla N

#20 13. 12. 2011 14:05

Re: Určení čísla N

#21 16. 12. 2011 00:25

Re: Určení čísla N

Zápatí