Matematické Fórum

smatel · 13. 12. 2011 20:35 — Editoval smatel (13. 12. 2011 20:35)

Dobrý den, počítám následující úlohu (Prometheus diferenciální počet str. 118. 4.25a) a nerozumím zadání a autorskému výsledku.

Zadání: Najděte lokální extrémy funkcí v daných intervalech.
$y = x^2 - 6x + 10, x\in \langle-1,5\rangle$

Ve výsledcích je zapsáno: v bodě -1 lokální maximum 17, v bodě 3 lokální minimum 1.

Já jsem uvažoval tak, že mám hledat lokální extrémy, tedy první derivaci položím rovno nule.
$y' = 2x - 6 = 0$
Tedy bod podezřelý z extrémů je: $x_0 =3$
Druhou derivací zjístím, že se jedná o lokální minimum: $y'' = 2 > 0$

Bod, kde jsem nalezl extrém náleží do intervalu, kde mám extrémy zkoumat.
Odpověd: Funkce má v bodě 3 lokální minimum 1.

Ve výsledcích ale uvádějí i bod -1. Takže zkoumají i krajní meze intervalu. Ale to jsou již globální /absolutní extrémy a nejedná se o lokální, jak požadují v zádání. Nebo se pletu a v určitých situacích je globální extrém lokální, či ony extrémy v krajích intervalu jsou lokální??

Děkuji za vaši pomoc.

Hanis · 13. 12. 2011 20:41 — Editoval Hanis (13. 12. 2011 21:30)

Globální extrém je ten s největší (nejmenší) funkční hodnotou.
(Z gymnázia, VŠ definice se nejspíš bude lišit)
Čili vždy prověřuj body, kde je první derivace nulová nebo neexistuje.

EDIT: podle tohoto materiálu bych dal zapravdu tobě

smatel · 13. 12. 2011 20:44 — Editoval smatel (13. 12. 2011 20:46)

↑ Hanis:
Díky za rychlou odpověd.

Takže i globální extrém je lokální extrém?
Lokální extrémy získám první derivací. Ale ty maxima či minima vycházející z krajních bodů intervalů - tam jsou derivace nenulové, takže pokud budu vycházet pouze z bodů podezřelých z extrémů určených nulovou první derivací, tak se stejně nedostanu k výsledkům autorským.

EDIT: tenhle materiál jsem si v zápalu nešťastnosti předtím vyhledal :-)

Hanis · 13. 12. 2011 20:50 — Editoval Hanis (13. 12. 2011 20:52)

Pokud máš funkci zadanou
$y = x^2 - 6x + 10, x\in \langle-1,5\rangle$
Pak v krajních bodech 1. derivace neexistuje, neboť tyto body nemají okolí - vzpomeň si, jak se derivace definovala...
EDIT: ještě bych se podíval, jak v této učebnici definují lokální extrém a jak globální

smatel · 13. 12. 2011 21:03 — Editoval smatel (13. 12. 2011 21:04)

↑ Hanis:
Díky za upozornění, to jsem opomenul.

Takže lokální maximum, dle vět, které neplatí obráceně, mohou být i v bodech, kde neexistují derivace(je to tak?). Což je tento případ - kraje toho intervalu.

V učebnici je tato věta:

Funkce f má v bodě $x_0$ lokální maximum, existuje-li takové okolí $U(x_0)$ , že pro všechna $x \in U(x_0) \cap D_f$ platí: $f(x) \le f(x_0)$ .

Funkce f má v bodě $x_0$ lokální minimum, existuje-li takové okolí $U(x_0)$ , že pro všechna $x \in U(x_0) \cap D_f$ platí: $f(x)\ge f(x_0)$ .

V tomto případě je v případě krajního bodu intervalu jedna strana okolí "nulová", takže ani nemůže ona nerovnost pro x platit, ne?

Díky za pomoc.

smatel · 13. 12. 2011 21:18

Ještě přidávám plot z wolframaplha. Ten nalezne maximum v bodě -1 a jmenuje ho "Global extrem"

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ma … 3D+-1+to+5

Díky

Hanis · 13. 12. 2011 21:30

Ahoj,
prošmejdil jsem spoustu dalších odkazů a všechny se shodují s tím prvním, tedy že v bodě -1 je globální extrém.
Tvoje definice pro lokální nefunguje, protože ve vyšetřovaném bodě okolí prostě neexistuje.

Funkce f má v bodě xo [ostré] lokální maximum, jestliže existuje interval (a,b) tak, že pro všechna x z tohoto intervalu platí: [f(x) < f(xo)] f(x)<= f(xo)
Funkce f má v bodě xo [ostré] lokální minimum, jestliže existuje interval (a,b) tak, že pro všechna x z tohoto intervalu platí: [f(x) > f(xo)] f(x) >= f(xo)

Když se opřu o tuto definici, tak opět narážím na otevřený interval.

Globální extrémy (absolutní extrémy) funkce v nějakém intervalu představují body, ve kterých nabývá funkce své největší resp. nejmenší hodnoty.
Znamená to nalézt lokální extrémy a porovnat odpovídající funkční hodnoty i s hodnotami v hraničních bodech intervalu. Největší hodnota přísluší globálnímu maximu a nejmenší globálnímu minimu.

Takže v bodě x=-1 je opravdu globální extrém. Zkus se zeptat vyučujícího, co ti k tomuto řekne.
Doufám, že jsem ti alespoň trochu pomohl.

smatel · 13. 12. 2011 21:33 — Editoval smatel (13. 12. 2011 21:34)

↑ Hanis:
Díky za vaší pomoc. Zkusím to s vyučujícím podiskutovat. Teď aspoň mám určitou jistotu, že někde nedělám zásadní botu.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2011 20:35 — Editoval smatel (13. 12. 2011 20:35)

Určení lokálních extrémů funkce

#2 13. 12. 2011 20:41 — Editoval Hanis (13. 12. 2011 21:30)

Re: Určení lokálních extrémů funkce

#3 13. 12. 2011 20:44 — Editoval smatel (13. 12. 2011 20:46)

Re: Určení lokálních extrémů funkce

#4 13. 12. 2011 20:50 — Editoval Hanis (13. 12. 2011 20:52)

Re: Určení lokálních extrémů funkce

#5 13. 12. 2011 21:03 — Editoval smatel (13. 12. 2011 21:04)

Re: Určení lokálních extrémů funkce

#6 13. 12. 2011 21:18

Re: Určení lokálních extrémů funkce

#7 13. 12. 2011 21:30

Re: Určení lokálních extrémů funkce

#8 13. 12. 2011 21:33 — Editoval smatel (13. 12. 2011 21:34)

Re: Určení lokálních extrémů funkce

Zápatí