Matematické Fórum

Benny · 12. 12. 2011 19:49 — Editoval Benny (12. 12. 2011 19:50)

Posloupnost reálných čísel $a_{n}$ splňuje rekurentní rovnici

$a_{n+3}-\frac{3}{2}a_{n+2}+a_{n+1}-\frac{1}{4}a_{n}=0$

Musí platit $\lim_{n\to\infty } a_{n}=0$ ?

kaja.marik · 12. 12. 2011 20:03

Tak to je linearni rovnice, ktera se da vyresit. Urcite by stacilo vedet, jaka znamenka maji reseni charakteristicke rovnice (nebo jak se to jmenuje u diferencnich rovnic).

vanok · 12. 12. 2011 20:03

Ahoj ↑ Benny:,
Vyries charaktericku rovnicu a napis formalne funkcny vyraz postupnosti vyber pociatocne podmienky a aby platila tvoja limita.

check_drummer · 13. 12. 2011 20:54

Benny napsal(a):
Musí platit $\lim_{n\to\infty } a_{n}=0$ ?

Jak zní přesně otázka? Zda limita existuje a pokud existuje, zda musí být 0 a nebo zní otázka tak, že pokud limit existuje, pak je 0?

Benny · 13. 12. 2011 20:57

↑ check_drummer:

Úplně přesně to zní "Rozhodněte, zda musí platit limita. Odpověď zdůvodněte"

check_drummer · 13. 12. 2011 21:13

↑ Benny:
Co to je "musí platit limita"?... Tj. zda musí existovat a být rovna 0 nebo zda v případě existence musí být rovna 0?

Benny · 13. 12. 2011 21:24

↑ check_drummer:

Víc o tom příkladu nevím.

kaja.marik

No vlastne se ptaji, jestli plati, ze vsechny posloupnosti, ktere jsou resenim te rekurentni rovnice, jdou k nule.

EDIT: tohle neni pravda, viz prispevek nize.
Takze vlastne, jestli vsechny koreny charaktersticke rovnice maji zaporne realne casti.

pf · 14. 12. 2011 00:05

kaja.marik napsal(a):
No vlastne se ptaji, jestli plati, ze vsechny posloupnosti, ktere jsou resenim te rekurentni rovnice, jdou k nule. Takze vlastne, jestli vsechny koreny charaktersticke rovnice maji zaporne realne casti.

Obávám se, že nikoli. To by platilo pro kořeny charakteristické rovnice u DIFERENCIÁLNÍ rovnice, ale ne u rekurentní rovnice. Tady je potřeba, aby všechny kořeny byly v absolutní hodnotě menší než 1 - potom (a jen tehdy) libovolné řešení konverguje k 0.

vanok · 14. 12. 2011 00:40 — Editoval vanok (14. 12. 2011 01:15)

↑ Benny:
Prebehol som tento post

da sa lahko dokazat, ze

Ak tato limita $\lim_{n\to\infty } a_{n}$ existuje oznacme ju L tak z

$a_{n+3}-\frac{3}{2}a_{n+2}+a_{n+1}-\frac{1}{4}a_{n}=0$

mame

$L-\frac{3}{2}L+L-\frac{1}{4}L=0$

cize po zjednoduseni $L=0$ .

ALE NA DOKONCENIE PROBLEMU TREBA DOKAZAT ZE $\lim_{n\to\infty } a_{n}$ EXISTUJE.

A preto treba urobit co som ti uz vyssie poradil ↑ vanok:

kaja.marik · 14. 12. 2011 07:48

↑ pf:
jejda, to je pravda, omlouvam se za prehlednuti, napsal jsem opravdu jak to je u diferencialnich a ne diferencnich rovnic. Pardon. Uz se nehlasim :)

Matematické Fórum

#1 12. 12. 2011 19:49 — Editoval Benny (12. 12. 2011 19:50)

Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

#2 12. 12. 2011 20:03

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

#3 12. 12. 2011 20:03

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

#4 13. 12. 2011 20:54

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

Benny napsal(a):

#5 13. 12. 2011 20:57

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

#6 13. 12. 2011 21:13

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

#7 13. 12. 2011 21:24

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

#8 13. 12. 2011 22:54 — Editoval kaja.marik (14. 12. 2011 07:50)

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

#9 14. 12. 2011 00:05

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

kaja.marik napsal(a):

#10 14. 12. 2011 00:40 — Editoval vanok (14. 12. 2011 01:15)

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

#11 14. 12. 2011 07:48

Re: Rekurentní rovnice posloupnosti reálných čísel

Zápatí