Matematické Fórum

zdenis · 12. 12. 2011 21:12

Nazdar, našel by se někdo kdo by zhodnotil postup výpočtu nasledujicího integrálu...dělám to poprvé tak si nejsem moc jistý, použil jsem substituční metodu. $Q=\int_{0}^{\infty }10e^{\frac{-t}{0.1}}.dt |\frac{-t}{0.1}=u\Rightarrow t=-0.1u\Rightarrow dt=-0.1du|$ $horni=\frac{-\infty }{0.1},dolni=0$
$=\int_{0}^{\frac{-\infty }{0.1}}-1e^{u}du=\lim_{b\to\frac{-\infty}{0.1} }\int_{0}^{b}-1e^{u}du=\lim_{b\to\frac{-\infty}{0.1} }-1[e^{b}-e^{0}]=-1(0-1)=1$

Rumburak

Připadá mi, že je to dobře, až na drobné formality. Je zřejmé, že použitá substituce zobrazuje interval $(0, +\infty)$ na $(-\infty , 0)$
a substituce je "orientována" tak, že u(t) --> 0 pro t --> 0 , proto není problém napsat

$\int_{0}^{\infty }10 \mathrm{e}^{\frac{-t}{0.1}} \mathrm{d}t=\int_{0}^{-\infty }10 \mathrm{e}^{u}\! (-0.1) \mathrm{d}u = ...$ .

Také není nic nekorektního v tom, když napíšeme $[f(u)]_{-\infty}^0$ , což je zkratka pro $\lim_{u \to 0-} f(u) - \lim_{u \to -\infty} f(u)$ .

Naproti tomu používat výrazy jako $\frac{-\infty}{0.1}$ a dokonce psát $\lim_{x \to \frac{-\infty}{0.1}}$ není zvykem a nepůsobí to dobře.

zdenis · 13. 12. 2011 23:41

a možná teď budu za blbce, ale raději se zeptám... $e^{\infty }$ se rovná nule nebo $\infty$ se chová jako nula? jde o to že výsledek má vyjít 1 coulomb a pokud by 0 byla jako horní mez tak by byl výsledek asi záporný

Rumburak

↑ zdenis:
Provádět se symboly $\pm \infty$ početní operace nebo aplikovat na ně klasické funkce je obecně problém z pohledu definic.
"Klasická" množina reálných čísel obsahuje pouze "konečná" reálná čísla, přidáme-li k ní jako další prvky abstraktní symboly $\pm \infty$ , dostaneme
tzv. rozšířenou množinu reálných čísel a lze pak dodefinovat i některé algebraické operace s těmito "nekonečnými čísly". Ale rozšiřovat o ně
definiční obory dalších funkcí nebývá zvykem. Exponenciální funkce $\mathrm{e}^x$ je nějakým způsobem definována (existují různé možnosti se stejným
výsledkem), ale tyto definice zpravidla předpokládají, že $x$ je KONEČNÉ číslo (reálné či komplexní). Symbol $\mathrm{e}^{\infty }$ by proto potřeboval zvláštní
definici, která se ale běžně nezavádí a proto tento symbol vlastně stojí mimo jazyk matematiky. Pokud by tento symbol přecejen někdo korektním
způsobem definoval (například přednášející na svém kursu či nějaký autor ve své knize nebo článku), pak by šlo o čin spíše ojedinělý a platnost
takové definice by byla pouze "lokální".

Druhou věcí je, když symbol $\mathrm{e}^{\infty }$ používáme v metajazyce (což je jazyk, jímž o matematických záležitostech de facto pouze "filosofujeme"
bez nároku na matematickou přesnost). Pak asi budeme mít tendenci intuitivně ho vnímat jako limitu z $\mathrm{e}^x$ pokud $x$ se blíží k $\infty$ .

V korektním matematickém zápise proto nedoporučuji používat symbol $\mathrm{e}^{\infty }$ a jemu podobné.

rleg · 14. 12. 2011 11:25

↑ zdenis: Tobě tam ale vyjde $e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0$

$Q=\int_{0}^{\infty }10e^{\frac{-t}{0.1}}dt =\int_{0}^{\infty }10e^{-10t}dt=\[\frac{10}{-10e^{10t}}\]_0^{\infty}=-\frac{1}{e^{\infty}}-$-\frac{1}{e^{0}}$$

zdenis · 14. 12. 2011 11:38

↑ rleg:

nemělo by se to napřed upravit na elementarní úroveň jak jsem to udělal já pomocí substituce?

zdenis · 14. 12. 2011 11:41

↑ Rumburak:

dík za vysvětlení...jsem moc rád že existuje tohle forum a lidi kteří mají ochotu pomoct

rleg · 14. 12. 2011 13:05

↑ zdenis: substituci dělat můžeš, ale nemusíš. Vyjde ti to samé.

zdenis · 14. 12. 2011 13:25

↑ rleg:

ok..ja jen pro kontrolu..taky díky za pomoc

Matematické Fórum

#1 12. 12. 2011 21:12

Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

#2 13. 12. 2011 09:55 — Editoval Rumburak (13. 12. 2011 09:57)

Re: Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

#3 13. 12. 2011 23:41

Re: Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

#4 14. 12. 2011 11:01 — Editoval Rumburak (14. 12. 2011 11:23)

Re: Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

#5 14. 12. 2011 11:25

Re: Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

#6 14. 12. 2011 11:38

Re: Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

#7 14. 12. 2011 11:41

Re: Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

#8 14. 12. 2011 13:05

Re: Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

#9 14. 12. 2011 13:25

Re: Určitý integrál s mezí od nuly k nekonečnu

Zápatí