Matematické Fórum

seth.x · 13. 12. 2011 21:48

Ahoj, můžete mi prosím poradit s tímto příkladem? Nemůžu s ním hnout, předem děkuji.

Uvažujte plochu ohraničenou čtveřicí křivek a, b, c, d. Určete objem tělesa, které vznikne rotací této plochy kolem osy x.
a: x = 1
b: x = 2
c : y = x^2 − 2x + 5
d : y = cos(x − 2) + 2

Vzoreček pro objem je:
$V=\Pi *\int_{a}^{b}(f(x))^2dx$

LukasM · 14. 12. 2011 10:12 — Editoval LukasM (14. 12. 2011 10:12)

↑ seth.x:
Zkusil sis tu plochu nakreslit?

seth.x · 14. 12. 2011 21:05

Zkusil, vyjde z toho takovej zohýbanej válec omezenej od 1 do 2, ale nevím jak upravit tu cosinovou rovnici a rovnici paraboly aby se to nějak dalo dosadit do toho vzorce.
Zkusil jsem dosadit takhle:
$V=\Pi *\int_{1}^{2}(cos(x-2)+2)^2-(x^2-2x+5)^2dx$
ale to moc nevychází. Napadá vás něco lepšího? Byl bych vděčný, docela to spěchá, díky.

Alivendes

Vypadá to správně akorát je třeba odečíst kosinus od kvadratické funkce, ty to máš naopak, jinak ten integrál s kosinem se bude počítat snadně za použití substituce x-2=t.

Co ti tam nevychází ?

seth.x · 14. 12. 2011 22:08

Aha já myslel že odečítám od toho co je v tom grafu jakoby výš což je ta parabola. Pak mi tam ale ke konci když dosazuju ty meze vychází blbý číla jako sin(-2), sin(-1) apod.

Alivendes

Ano, výš je parabola, proto to musí být opačně, ty odečítáš od kosinusodiy. :)

seth.x · 14. 12. 2011 22:28 — Editoval seth.x (14. 12. 2011 22:32)

Jo sorry blbě jsem koukal :). Tak jsem to obrátil, pak jsem ještě změnil meze po substituci ale pořád mi ty siny nevycházejí hezky.

Alivendes

↑ seth.x:

Postupoval bych tak, že bych nepoužíval tu substituci protože derivace vnitřní funkce u toho cosinu je 1, zkusme to takhle :)

seth.x · 14. 12. 2011 23:06 — Editoval seth.x (14. 12. 2011 23:07)

Ale teď mám problém že já potřebuju nějak upravit tu kvadratickou rovnici protože tam je na druhou, abych to mohl vhodně roznásobit. Jenže diskriminant u toho vyjde zápornej a já nevím ty kořeny.

Alivendes

Na co počítat kořeny ?

Navíc když je diskriminant záporný, tak by jsi mohl vědět, že to kořeny nemá.
Sám jsi si přece nakreslil, že parabola je nad osou x

seth.x · 14. 12. 2011 23:22 — Editoval seth.x (14. 12. 2011 23:23)

Tak jak mám teda roznásobit $(x^2-2x+5)^2$ ?

Alivendes · 14. 12. 2011 23:23

↑ seth.x:

Ano

seth.x · 15. 12. 2011 11:35 — Editoval seth.x (15. 12. 2011 13:11)

Jak se integruje tohle bez pomocí substituce?
$\int_{}^{}(cos(x-2)+2)^2dx$
Metodou per partes mi vyšlo $sin\frac{(2-x)}{4}+\frac{(2-x)}{2}$ ale podle výsledku to má být $sin\frac{1}{4}*(2x-sin(4-2x)-4)$

Honzc · 15. 12. 2011 12:39 — Editoval Honzc (15. 12. 2011 12:55)

↑ seth.x:
Využij tohoto:
$\int_{}^{}(cos(x-2)+2)^2dx=\int_{}^{}(cos^{2}(x-2)+4cos(x-2)+4)dx=$
$=\int_{}^{}(\frac{1+cos(2(x-2))}{2}+4cos(x-2)+4)dx$
Druhý integrál - normálně umocni
Pak dej substituci $x-2=t,dx=dt,x=t+2,x=1\Rightarrow t=-1,x=2\Rightarrow t=0$
a to už nemůže být žádný problém to zintegrovat
Taková malá otázečka:
Proč ti u integrálu chybí dx? (že by se ti to nechtělo psát?)

seth.x · 15. 12. 2011 13:05 — Editoval seth.x (15. 12. 2011 13:11)

↑ Honzc:
Ten první integrál mi vyšel $\frac{1}{2}\int_{}^{}1+cos2t dt = \frac{1}{2}(t+2sin(t)cos(t))$
a to další jsem zintegroval jako 4sin(x-2)+4x, tam už ta substituce nepatří že?
A co mám pak dosadit za to t? 1, 2 nebo (x-2)? Já tu substituci takhle neznám.

Na to dx jsem zapomněl, už tam je.

Honzc · 15. 12. 2011 13:17 — Editoval Honzc (15. 12. 2011 13:22)

↑ seth.x:
Je tam malá chyba
$\frac{1}{2}\int_{}^{}(1+cos2t) dt = \frac{1}{2}(t+sin(t)cos(t))=$
$=\frac{1}{2}(t+\frac{sin(2t)}{2})$
substituce tam samozřejmě může patřit, proto jsem ti vyjádřil:
$x-2=t,dx=dt,x=t+2$ a meze $x=1\Rightarrow t=-1,x=2\Rightarrow t=0$
a tedy když budeš integrovat v $t$ pak meze budou od $-1$ do $0$
Dokonce i u toho druhého integrálu (ten polynom) se s výhodou dá použít substituce
$x-2=t$

seth.x · 15. 12. 2011 13:39 — Editoval seth.x (15. 12. 2011 13:43)

↑ Honzc:
Jo takže to bude vypadat $\frac{1}{2}((x-2)+\frac{sin(2x-4)}{2}+4sin(x-2)+4(x-2)$
pak teda dosadím meze -1 a 0, ale pořád to nevychází podle výsledku $sin\frac{1}{4}*(2x-sin(4-2x)-4))$ . Jak to ještě upravit?

Jinak jestli myslíš ten polynom $(x^2-2x+5)^2$ tak ten už mi vyšel $\frac{283}{15}$ , takže mi stačí jen od toho odečíst výsledek toho cosinovýho integrálu.

Honzc · 15. 12. 2011 13:50 — Editoval Honzc (15. 12. 2011 13:50)

↑ seth.x:
K mezím:
1. Jestli to počítš bez substituce, tedy s $x-2$ pak jsou meze původní.(od $1$ do $2$ )
2. Pokud dáš substituci $x-2=t$ , pak jsou meze od $-1$ do $0$
Ten tvůj výsledek $sin\frac{1}{4}*(2x-sin(4-2x)-4))$ je špatně.
Tak tedy to $\frac{1}{2}((x-2)+\frac{sin(2x-4)}{2}+4sin(x-2)+4(x-2)$ je dobře a stačí dosadit meze od $1$ do $2$

seth.x · 15. 12. 2011 13:59

↑ Honzc:
Aha tak já to jdu zkusit dosadit. Takže to nejde že bych ten první integrál měl s mezema 1 a 2 a ten druhý s mezema -1 a 0? U toho cosinu vlastně substituce ani není potřeba, ale je to přehlednější.

Honzc · 15. 12. 2011 14:08

↑ seth.x:
Pokud to budeš psát ve správných proměnných (jednou v x, podruhé v t) pak to určitě jde.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2011 21:48

Objem rotačního tělesa

#2 14. 12. 2011 10:12 — Editoval LukasM (14. 12. 2011 10:12)

Re: Objem rotačního tělesa

#3 14. 12. 2011 21:05

Re: Objem rotačního tělesa

#4 14. 12. 2011 21:11 — Editoval Alivendes (14. 12. 2011 21:15)

Re: Objem rotačního tělesa

#5 14. 12. 2011 22:08

Re: Objem rotačního tělesa

#6 14. 12. 2011 22:09 — Editoval Alivendes (14. 12. 2011 22:12)

Re: Objem rotačního tělesa

#7 14. 12. 2011 22:28 — Editoval seth.x (14. 12. 2011 22:32)

Re: Objem rotačního tělesa

#8 14. 12. 2011 22:32 — Editoval Alivendes (14. 12. 2011 22:32)

Re: Objem rotačního tělesa

#9 14. 12. 2011 23:06 — Editoval seth.x (14. 12. 2011 23:07)

Re: Objem rotačního tělesa

#10 14. 12. 2011 23:12 — Editoval Alivendes (14. 12. 2011 23:13)

Re: Objem rotačního tělesa

#11 14. 12. 2011 23:22 — Editoval seth.x (14. 12. 2011 23:23)

Re: Objem rotačního tělesa

#12 14. 12. 2011 23:23

Re: Objem rotačního tělesa

#13 15. 12. 2011 11:35 — Editoval seth.x (15. 12. 2011 13:11)

Re: Objem rotačního tělesa

#14 15. 12. 2011 12:39 — Editoval Honzc (15. 12. 2011 12:55)

Re: Objem rotačního tělesa

#15 15. 12. 2011 13:05 — Editoval seth.x (15. 12. 2011 13:11)

Re: Objem rotačního tělesa

#16 15. 12. 2011 13:17 — Editoval Honzc (15. 12. 2011 13:22)

Re: Objem rotačního tělesa

#17 15. 12. 2011 13:39 — Editoval seth.x (15. 12. 2011 13:43)

Re: Objem rotačního tělesa

#18 15. 12. 2011 13:50 — Editoval Honzc (15. 12. 2011 13:50)

Re: Objem rotačního tělesa

#19 15. 12. 2011 13:59

Re: Objem rotačního tělesa

#20 15. 12. 2011 14:08

Re: Objem rotačního tělesa

Zápatí