Matematické Fórum

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 14. 12. 2011 21:32

Mám dokázat tohle:

Omlouvám se, ale neumím napsat sumu, tak to sem dám slovy: je tam suma, nahoře vpravo u ní napsáno n, dole vpravo k=1. Teké je tam poznámka, že n je větší nebo rovno jedné.
No, a za tím mám 1/ (3k -1)(3k + 2) = n / 2(3n + 2)

A teď babo raď. Možná bych mohla začít tím, že vůbec netuším, co mi ten zápis se sumou vlastně říká.

Stýv · 14. 12. 2011 22:12

použij latexový editor

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 14. 12. 2011 22:55

Takhle to není jasné? Já s tím absolutně neumím pracovat. Ale i když si tam zkusím hrát s tou sumou, tak mi to všechno (n, k) hází na úplně jiná místa, než to mám u sebe v zadání.

standyk · 14. 12. 2011 22:58

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:

Takto?
$\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}}=\frac{n}{2(3n+2)}$

Ak áno, tak začni prvým krokom ktorý je overenie pre najmenšie možné prirodzené číslo.

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 14. 12. 2011 23:07

Právě že ne, to n je jakoby nahoře vpravo vedle sumy, a to druhé dole vpravo vedle sumy. Ono to možná bude to samé, že? Já mám totiž největší problém právě s tou sumou, indukci i celkem chápu, ale nějak nevím, co mi říká ta suma, mate mě, že tam mám dvě proměnné. Co mám tedy vlastně za ty písmena dosazovat?

Stýv · 14. 12. 2011 23:18

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno: je to to samý. znamená to, že za k dosazuješ čísla od 1 do n (a sčítáš)

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 15. 12. 2011 10:40

A to dosazuju za n, nebo za k? A za obě stejné číslo, nebo jiné číslo?

Rumburak

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:
Kdysi jsem tu někomu vysvětloval sumu jakožto pojem - zde.

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 15. 12. 2011 11:37

Za ten odkaz děkuju, ty příklady co máte rozepsané tam chápu, ale vůbec to nedokážu aplikovat na ten svůj. Mate mě, že tam mám to rovnítko, a dvě neznámé. Asi jsem úplně slepá, ale fakt to nevidím. Takže já si tedy do toho svého budu postupně dosazovat za k čísla 1, 2, 3... až do n? To bych pochopila. Ale co s tím koncem kde jsou n-ka? To moje je tedy taky nějaká řada? Nebo se obě strany toho rovnítka musí po dosazení rovnat?

Rumburak

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:
Čili otázkou č. 1 je, jak rozumět zápisu

(1) $\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}}=\frac{n}{2(3n+2)}$

resp.

$\Sigma_{k=1}^{n}{\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}}=\frac{n}{2(3n+2)}$ ,

což je totéž jako (1). V zadání bude patrně ještě uveden předpoklad, že $n \ge 1$ je přirozené číslo.

Levá strana (1) je zkratkou pro součet

(2) $\frac{1}{(3\cdot 1 - 1)(3\cdot 1 + 2)} + \frac{1}{(3\cdot 2 - 1)(3\cdot 2 + 2)} + ... + \frac{1}{(3n - 1)(3n + 2)}$ ,

jehož první člen $\frac{1}{(3\cdot 1 - 1)(3\cdot 1 + 2)}$ dostaneme z obecného členu $\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ volbou k = 1 ,
druhý člen $\frac{1}{(3\cdot 2 - 1)(3\cdot 2 + 2)}$ dostaneme z obecného členu $\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ volbou k = 2 ,

.....

poslední (n-tý) člen $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ dostaneme z obecného členu $\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ volbou k = n .

Je zřejmé, že hodnota tohoto součtu bude záviset na přirozeném čísle $n$ , takže můžeme napsat

$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}}=f(n)$ ,

kde $f$ je nějaká prozatím neznámá funkce. Předmětem úlohy je ukázat, že touto funkcí je $f(n) = \frac{n}{2(3n+2)}$ .

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 15. 12. 2011 22:25

Tisíceré díky, opravdu. Konečně chápu. Ještě jsem tedy nezkusila nic spočítat, abych si to ověřila, ale na pohled už mi to přijde jasné.

Takže tedy začnu s jedničkou, dosadím a mám

$\frac{1}{(3-1)(3+2)}$

pak tedy dosadím jedničku i za n a mělo by se to rovnat

$\frac{1}{2(3+2)}$

Když tohle spočítám, tak mi tedy vyjde, že oba zlomky jsou 1/10 a pro jedničku to tedy vypadá, že ten výraz s n-ky tomu odpovídá, chápu to doufám správně?

Takže teď udělám ten indukční předpoklad a krok a tak, že. Takže bych tedy vycházela z toho, že platí ten původní zápis a chtěla bych nějak získat, že platí i tohle:

$\frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)}=\frac{n+1}{2(3(n+1) +2)}$

standyk

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:

Skôr by sa malo dokázať, že:
$\sum\limits_{k=1}^{\color{red}n+1\color{black}}{\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}}=\overbrace{{\frac{1}{(3\cdot 1-1)(3\cdot1+2)}} + {\frac{1}{(3\cdot2-1)(3\cdot2+2)}} + \cdots +{\frac{1}{(3\cdot n-1)(3 \cdot n+2)}}}^{\text{z indukčneho predpokladu vieme, že to je }\large{\frac{n}{2(3n+2)}}} + \\ +\color{red}{\frac{1}{(3\cdot (n+1) -1)(3 \cdot(n+1)+2)}}\color{black}=\frac{(n+1)}{2(3(n+1)+2)}$

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2011 21:32

Důkaz (nejspíš indukce)

#2 14. 12. 2011 22:12

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#3 14. 12. 2011 22:55

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#4 14. 12. 2011 22:58

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#5 14. 12. 2011 23:07

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#6 14. 12. 2011 23:18

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#7 15. 12. 2011 10:40

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#8 15. 12. 2011 11:15 — Editoval Rumburak (15. 12. 2011 11:16)

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#9 15. 12. 2011 11:37

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#10 15. 12. 2011 13:57 — Editoval Rumburak (15. 12. 2011 13:58)

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#11 15. 12. 2011 22:25

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

#12 15. 12. 2011 23:28 — Editoval standyk (15. 12. 2011 23:40)

Re: Důkaz (nejspíš indukce)

Zápatí