Matematické Fórum

stenly · 16. 12. 2011 09:09 — Editoval stenly (16. 12. 2011 09:24)

Děkuji všem,kdo mi pomůžou s příkladem:

Rumburak

K vyřešení první úlohy si uvědomme, že zobrazení $F : (ax^2 + bx + c) |\!\!\!\longrightarrow (a, b, c)$ je isomorfismem prostoru P2 na R^3.
Podprostor V prostoru P2 se tak isomorfně zobrazí na prostor všech řešení soustavy a-c = 0 , b= 0 , což je podprostor v R^2 .

Ve druhé úloze jde o otázku, zda polynomy p1 , p2, p3 generují prostor P2. Opět nám může pomoci isomorfismus F.

stenly · 16. 12. 2011 12:00

↑ Rumburak:Děkuji za příspěvek,ale nejsem z toho moc chytrý.Šlo by to konkrétněji?Děkuji.

Rumburak · 16. 12. 2011 14:02

↑ stenly:

Polynomy $f_1(x) := x^2 , f_2(x) := x, f_3(x) := 1$ představují bázi prostoru P2 , stejnětak jako vektory
$\vec{\mathrm{e}}_1:=(1, 0, 0), \vec{\mathrm{e}}_2:=(0, 1, 0), \vec{\mathrm{e}}_3:=(0, 0, 1)$ představují bázi prostoru R^3.

Jestliže definujeme $F(f_i) := \vec{\mathrm{e}}_i , i = 1, 2, 3$ a tuto definici ještě lineárně rozšíříme na celý prostor P2 , tj. předpisem

$F(a_1f_1 + a_2f_2 + a_3f_3) := a_1\vec{\mathrm{e}}_1 + a_2\vec{\mathrm{e}}_2 + a_3\vec{\mathrm{e}}_3 , a_i \in \mathbb{R}^3$

(tato definice je korektní, protože každý polynom z P2 se dá vyjádřit ve tvaru $a_1f_1 + a_2f_2 + a_3f_3$ , a to jediným možným způsobem) ,
pak se snadno dokáže, že F je isomorfismus uvedených prostorů (tj. lineární zobrazení, které je bijektivní).
Takže jsou-li $g_i \in P_2 , c_i \in \mathbb{R} , i = 1,2,3$ , potom $F(c_1g_1 + c_2g_2 + c_3g_3) = c_1F(g_1) + c_2F(g_2) + c_3F(g_3)$ .

Důsledkem toho je, že lineární závislost / nezávislost polymomů $g_i$ je ve shodě s lineární závislostí / nezávislostí vektorů $F(g_i)$ .
Lineární úloze v P2 odpovídá "isomorfní" lineární úloha v R^3 (a naopak). Tato transformace úloh z P2 do R^3 nám umožní v plné míře využít známých
teoretických poznatků o prostoru R^3 .