Matematické Fórum

mischell90 · 17. 12. 2011 14:27

Ahoj, mám tuto úlohu, nějak jsem se ji snažila vyřešit,ale nejsem si jistá, jestli dobře.

Pacient užívá lék vždy po třech hodinách. D(n) je množství účinné látky v krevním systému v n-tém intervalu. Tělo během každého intervalu eliminuje p-násobek účinné látky $p\in (0,1)$ .

Nalzeněte D(n) a limitu $lim_{n->\infty } D(n)$ , jestliže užívaná dávka je $D_{0}$ .
Nejprve obecně a potom pro $D_{0} = 2$ a $p=0,5$ .

řešení:
D(n) je množství dané látky v krvi
$D_{0}$ je množství užívané látky
p = za 3 hod. se vyloučí p-násobek látky

$D(n+1) = (1-p)D(n)+D_{0}$
$D(n)=(D_{0}-D_{0} * p)(1-p)^{n} + D_{0}*p$

limita bude: $lim_{n->\infty } D(n) = D_{0} * p$

Nechť $D_{0} = 2$ a $p=0,5$ , potom původní rovnice bude: $D(n+1)=0,5D(n) + 2$

Limita: $lim_{n->\infty } D(n) = D_{0} *p = 1$

Kondr · 18. 12. 2011 18:33 — Editoval Kondr (18. 12. 2011 18:36)

D budu uvažovat ve fázi, kdy si pacient právě vzal dávku, ale ještě se nic nevstřebalo (pokud se má uvažovat před dávkou, bude limita akorát o D_0 menší)

Obecné řešení je tvaru
$D(n)=(D_{0})[A(1-p)^{n} + B]$
Z počátečních podmínek
A+B=1
A(1-p)+B=2-p
Odečtením
A(-p)=1-p
Úpravou
A=(p-1)/p
B=1/p
Kontrolou by mělo být, že pro p=0 musí být limita nekonečno, pro p=1 musí být limita $D_0$ , čím více se eliminuje, tím menší je limita -- je dobré si vždycky najít nějaké takové "selsko-rozumové" charakteristiky a těmi ověřit, že nedošlo k banální chybě v úpravě (samozřejmě nemůžu ve svém řešení vyloučit nebanální chybu :)).

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2011 14:27

Diferenční rovnice

#2 18. 12. 2011 18:33 — Editoval Kondr (18. 12. 2011 18:36)

Re: Diferenční rovnice

Zápatí