Matematické Fórum

Tomas5 · 17. 12. 2011 18:47 — Editoval Tomas5 (18. 12. 2011 22:19)

Potřeboval bych zkontrolovat řešení,

nalezněte lokální extrémy funkce // EDIT: není to průběh funkce

$y=\frac {x^2}{x^{2}-4}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} }\frac {x^2}{x^{2}-4} = \frac {\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} }(x^{2})(x^{2}-4)-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} }(x^{2}-4)x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}}$

$\frac {2x (x^{2}-4)-(2x(x^{2}))}{x^{2}-4}$
$\frac {2x (x^{2}-4)-(2x^{3})}{x^{2}-4}$
$D_{f}=\mathbb{R}- \pm 2$

Funkce je na intervalu (- oo, -2) rostouci, je klesajici na intervalu (-2,2) a rostouci na intervalu (2, oo).

V bodech -2,2 neni prvni derivace.

$f(x)'=0$

$\frac {2x (x^{2}-4)-(2x^{3})}{x^{2}-4}=0$
Pokud x je ruzne od -2,2 vynasobim rovnici a dostanu

${2x^{3}-8x-(2x^{3})}=0$
$-8x=0$ $x=0$

Nulove body jsou 0,2,-2.
Je bod nula na intervalu (-2,2) lokalni maximum?

Phate · 18. 12. 2011 11:12

Ahoj, trochu zvlastni setreni prubehu funkce, doporucuju po vypocitani te prvni derivace nejdriv roznasobit ty cleny v citateli a podivat se co nam tam vlastne vyjde, podle toho urcit nulove body a body ve kterych neni prvni derivace definovana a s temito body pak podle znamenka urcovat, kde funkce klesa a kde roste, protoze tak, jak to mas to neni spravne.
Jinak je tam chyba, ten jmenovatel ma byt cely na druhou, nevim jestli jsi to tam zapomnel nebo nejak zahadne pokratil.

Tomas5 · 18. 12. 2011 22:12

zkusím si to opravit, ale jsem úplnej začátečník, tak to asi bude celé špatně
$f'(x)=$
$\frac {2x (x^{2}-4)-(2x(x^{2}))}{x^{2}-4}^{2}$
$\frac {2x (x^{2}-4)-(2x^{3})}{x^{2}-4}^{2}$
$\frac {-8x}{(x^{2}-4)^{2}}$

nulove body jsou 0,2,-2

funkce je rostouci na intervalu $(-\infty,-2)$ a $(-2;0]$ a klesajici na intervalu $[0; 2)$ a $(2,\infty )$

V nule je extrem.

$f''(x)=\frac{(-8x)'(x^{2}-4)^{2}-[(x^{2}-4)^{2}]'(-8x)}{(x^{2}-4)^{4}}$

$\frac {(-8x)'(x^{2}-4)^{2}-[(x^{2}-4)^{2}]'-8x}{{(x^{2}-4)^{4}}}$

$\frac {(-8)(x^{2}-4)^{2}-2(x^{2}-4)2x(-8x)}{{(x^{2}-4)^{4}}}$

$\frac {(-8)(x^{2}-4)^{2}+32x^{2}(x^{2}-4)}{{(x^{2}-4)^{4}}}$

$\frac{(x^{2}-4)(-8(x^{2}-4)+32x^{2})}{(x^{2}-4)^{4}}$
$\frac{(x^{2}-4)(-8(x^{2}-4)+32x^{2})}{(x^{2}-4)^{4}}$

$\frac{(-8(x^{2}-4)+32x^{2})}{(x^{2}-4)^{3}}$

$\frac{(32+24x^{2})}{(x^{2}-4)^{3}}$
$\frac{(32(1+\frac{24x^{2}}{32}))}{(x^{2}-4)^{3}}$
$\frac{(32(1+\frac{3x^{2}}{4}))}{(x^{2}-4)^{3}}$

nulove body 2,-2

na intervalu $(-2,2)$ je funkce konkavni, na intervalu $(-\infty ,-2)$ a $(2,\infty )$ je funkce konvexni.
-2,2 nejsou inflexni body

jelena · 19. 12. 2011 00:22

Zdravím,

1. derivace pořád je nějaká nepodařená, mělo by být na úvod (spíš problém se zápisem v TeX), protože potom (ve výsledku) se shodujeme:

$\frac{2x (x^{2}-4)-x^2(2x)}{(x^{2}-4)^{2}}$

Postup derivování a výsledek u 2. derivace vypadá dobře, případně, prosím, svůj postup ještě překontroluj v MAW, viz úvodní téma sekce VŠ (ale zdá se mi všechno v pořádku).

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2011 18:47 — Editoval Tomas5 (18. 12. 2011 22:19)

průběh funkce

#2 18. 12. 2011 11:12

Re: průběh funkce

#3 18. 12. 2011 22:12

Re: průběh funkce

#4 19. 12. 2011 00:22

Re: průběh funkce

Zápatí