Matematické Fórum

jrn · 17. 12. 2011 14:41 — Editoval jrn (17. 12. 2011 14:42)

Zdravím, vůbec nemůžu hnout s touto limitou. Je to příklad na l'Hospitalovo pravidlo. Můžeme jej ale použít při ověření všech předpokladů - to je první kámen úrazu. Druhý je i samotná derivace výrazů, kterou jsem se snažil udělat přepsáním an exponencielu jako exp(...).

Předpoklad, který mi dělá problém je:
existuje $H_a$ tak, že $H_a - \{a\} \subset D_\frac{f}{g} \cap D_\frac{f'}{g'}$ ,
kde v našem případě $a=+\infty$

jaksi nevím co v praxi říká.

a tady je limita:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}$

díky za pomoc.

kaja.marik · 17. 12. 2011 15:15

Nepisete, co u vas znamena $H_a$ , ale asi se tou podminkou mysli, ze funkce f(x)/g(x) i f'(x)/g'(x) jsou definovane v nejakem prstencovem okoli bodu $a$

jrn · 17. 12. 2011 15:22

↑ kaja.marik:
pardon, mělo by to být to okolí bodu +nekonečno. Myslím, že podmínka je splněna, definiční obory se po derivaci podle mě nezmění?, takže by fce meli být na okolí +nekonečno definované ano?

kaja.marik · 17. 12. 2011 15:26

ano

jrn · 17. 12. 2011 15:44

dobře. moje uprava výrazu je:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\ln^2 x}}{e^{x\ln (\ln x)}} =|l'H| \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\ln^2 x}(2\ln x)(\frac{1}{x})}{e^{x \ln (\ln x)}[(\ln(\ln x)+x(\frac{1}{\ln x})(\frac{1}{x})]}$

platí všude ty rovnosti? a je to postup dopředu?

Sulfan · 17. 12. 2011 18:51 — Editoval Sulfan (17. 12. 2011 18:52)

↑ jrn: Milý jaderňácký kolego! :) Myslím, že Pošta napsal do těch vzorových testů l´Hospitalovo pravidlo jen proto, aby ho každý použil a nachytal se, zkusil jsem lehce jednodušší postup:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\ln^2 x}}{e^{x\ln (\ln x)}} = \lim_{x \to +\infty} e^{ln^{2}x-xln(ln(x))}= \exp \lim_{x \to +\infty} \ln ^2(x)-x \ln\ln(x)$

Teď ještě můžeme provést substituci, aby to bylo lépe vidět:

$\exp \lim_{y \to +\infty} y^2-e^y\cdot \ln(y)=\exp (-\infty)=0$

jrn · 17. 12. 2011 19:01

↑ Sulfan:
Ááá díky ti :-) máš pravdu, upnul sem se na l'Hospitala a nic jinyho neexistovalo.
Příprava na tradiční test 2.1. ...

Sulfan · 17. 12. 2011 19:03

↑ jrn: Jojo, ponovoroční zabijácký termín. Přeji hodně štěstí. [konec OT]

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2011 14:41 — Editoval jrn (17. 12. 2011 14:42)

limita funkce

#2 17. 12. 2011 15:15

Re: limita funkce

#3 17. 12. 2011 15:22

Re: limita funkce

#4 17. 12. 2011 15:26

Re: limita funkce

#5 17. 12. 2011 15:44

Re: limita funkce

#6 17. 12. 2011 18:51 — Editoval Sulfan (17. 12. 2011 18:52)

Re: limita funkce

#7 17. 12. 2011 19:01

Re: limita funkce

#8 17. 12. 2011 19:03

Re: limita funkce

Zápatí