Matematické Fórum

rendy139 · 17. 12. 2011 17:13

Zdravím. Potřebovala bych vypočítat limity funkce: $y=\frac{x}{\sqrt[3]((x^2)-1)}$
tedy pro $\infty, -\infty, 1^+, 1^-, -1^+, -1^-$
$lim_{x->\infty} \frac{x}{\sqrt[3]((x^2)-1)}$ - zde nevím, jak vytýkat, vlastně nevím ani co s těmi limitami jdoucími k jedničkám.. :( jsem bezradná, prosím o radu:)

cyrano52 · 17. 12. 2011 17:37

Zkus to první usměrnit, ale vypadá to pěkně hnusně :D:D

halogan · 17. 12. 2011 17:40

Netřeba.

Detaily později. Jo a funkce je lichá, takže limit nebudeme počítat tolik.

cyrano52 · 17. 12. 2011 17:41

A s tím nekonečném má vyjít 0 ?

halogan · 17. 12. 2011 17:44

oo

halogan · 17. 12. 2011 17:52

Tak +-nekonečno: je to klasické vytýkání největší mocniny.

+-1: Je to dosazení s tím, že lim k 1+ bude (-1)* lim k -1-

rendy139 · 17. 12. 2011 19:02

Já to hlavně potřebuju proto, jelikož dělám průběh funkce. Nechala jsem si graf nakreslit v Maple, na wolframu a v aplikaci na mobilu a vypadá to úplně jinak než mi vyšlo. Napřídklad první derivace.
$y'= \frac{x^2-3}{3(x^2-1)^\frac{4}{3}}$ ..takže mi vznikne 5 intervalů:
$(-\infty;-\sqrt3)$ ..funkce roste, $(-\sqrt3;-1)$ .. funkce klesá, $(-1;1)$ .. funkce klesá, $(1;\sqrt3)$ .. funkce klesá, $(\sqrt3;\infty)$ .. funkce roste.

Potom druhá derivace:
$y''= \frac{9-x^2}{9(x^2-1)^\frac{7}{3}}$ takže máme zase dost intervalů.
Konkávní: $(-\infty;-3) a (-1;1) a (3;\infty)$
Konvexní: $(-3;1) a (1;3)$
Můžete mi, prosím, někdo říct, jak je možné, že wolfram to ten graf zobrazí následovně a například je z grafu jasné, že je od 0 do 1 konvexní. Dále mám aplikaci v mobilu, která kreslí grafy a tam ten graf je nakreslen jinak..například když se podáváte na wolfram, jak je ta část grafu mezi -1 a 1, tak ta aplikace v mobilu ji vykreslí přesně tak, jak wolfram imaginární část mezi -1 a 1

halogan · 17. 12. 2011 19:10

Tohle bude lepší graf - tady

Wolfram Alpha totiž dělá liché odmocniny přes komplexní čísla.

rendy139 · 17. 12. 2011 19:24

Jé, děkuji, takhle mi to vychází, já jsem to počítala celý den a nevěděla jsem si rady. Prosím a pomůžete mi s těmi limitami?
$lim_{x->\infty} \frac{x}{\sqrt[3]((x^2)-1)}$ - tady vůbec nevím, jak vytknout jmenovatele.. zde je moje řešení:
$lim_{x->\infty} \frac{x}{(x^\frac{2}{3}\sqrt[3](1-\frac{1}{x^\frac{2}{3}})} =$
$lim_{x->\infty} \frac{x^\frac{1}{3}}{\sqrt[3](1-\frac{1}{x^\frac{2}{3}})}$ takže by z toho měla vyjít limita $+\infty$ . Ale asi to tak nebude, že?

halogan · 17. 12. 2011 19:25

↑ rendy139:

Ale ano, tak to bude.

Z lichosti funkce vyjde -oo pro x jdoucí k -oo.

rendy139 · 17. 12. 2011 19:31

Děkuji za potvrzení správnosti řešení. Ale limitu k +-1 opravdu nevypočítám. Mohl byste mi, prosím, někdo napsat řešení?

halogan · 17. 12. 2011 20:07

K +-1: v citateli mame neco realneho, ale cimpak to delime?

rendy139

↑ halogan:takže to vyjde podle znaménka jmenovatele?
mám limitu
$lim_{x->\-1^-} \frac{x}{\sqrt[3]((x^2)-1)}$ ..znamená to, že se stačí zaměřit na jmenovatele? ve jmenovateli by po dosazení například -0,9999 vyšlo záporné číslo, což tedy znamená $-\infty$ ?

halogan · 17. 12. 2011 20:35

U jednicky se zamerime na jmenovatele. Jak rikate, x^2 - 1 jde k nule zleva, takze delime "zapornou nulou" a dostavame zaporne nekonecno.

U -1 pozor na citatele, delime zaporne cislo nulou.

rendy139 · 17. 12. 2011 21:43

Ó děkuji velmi. Tak mi ta funkce již vyšla celá - i graf. Limity zpropadené :D ..a prosím, mám ještě jednu otázku ->
asymptoty (šikmé), mi nevyšly žádné:
$lim_{x->\infty} \frac{\frac{x}{\sqrt[3]((x^2)-1)}}{x} =$
$lim_{x->\infty} \frac{x^2}{(x^\frac{2}{3}\sqrt[3](1-\frac{1}{x^\frac{2}{3}})} =$
$lim_{x->\infty} \frac{x^\frac{4}{3}}{\sqrt[3](1-\frac{1}{x^\frac{2}{3}})} = \infty$
Počítala jsem správně?:-)

halogan · 17. 12. 2011 21:48

Co tam dela ta druha mocnina? Naopak, bude se kratit.

rendy139

Nojo já jsem to tak dělala nejdříve.. :D přišlo mi to špatně..celý den počítám a takhle to potom dopadá..
$lim_{x->\infty} \frac{\frac{x}{\sqrt[3]((x^2)-1)}}{x} =$
$lim_{x->\infty} {\frac{1}{\sqrt[3]((x^2)-1)}} =$
$lim_{x->\infty} \frac{1}{(x^\frac{2}{3}\sqrt[3](1-\frac{1}{x^\frac{2}{3}})} = 0$

Teď jsem vypočítala k, půjdu na q.
$lim_{x->+-\infty} \frac{x}{\sqrt[3]((x^2)-1)} - 0x = +-\infty$ Tak a teď jsem snad potvrdila, že šikmá asymptota neexistuje:)

halogan · 17. 12. 2011 22:25

Supr.

Asymptota zase stačí jen pro jedno z nekonečen, přes lichost pak potvrdíte tu druhou.

rendy139 · 17. 12. 2011 22:45

Děkuji mnohokrát za vše :-)

halogan · 17. 12. 2011 22:54

Jestli není dalších otázek, tak označte, prosím, téma za označené. Je na to čudlík v prvním příspěvku.

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2011 17:13

Limita.

#2 17. 12. 2011 17:37

Re: Limita.

#3 17. 12. 2011 17:40

Re: Limita.

#4 17. 12. 2011 17:41

Re: Limita.

#5 17. 12. 2011 17:44

Re: Limita.

#6 17. 12. 2011 17:52

Re: Limita.

#7 17. 12. 2011 19:02

Re: Limita.

#8 17. 12. 2011 19:10

Re: Limita.

#9 17. 12. 2011 19:24

Re: Limita.

#10 17. 12. 2011 19:25

Re: Limita.

#11 17. 12. 2011 19:31

Re: Limita.

#12 17. 12. 2011 19:42 Příspěvek uživatele rendy139 byl skryt uživatelem rendy139. Důvod: Mé předešlé řešení bylo nesprávné, což jsem právě zjistila a je zcela zbytečné mít zde tuhle otázku

#13 17. 12. 2011 20:07

Re: Limita.

#14 17. 12. 2011 20:20 — Editoval rendy139 (17. 12. 2011 20:20)

Re: Limita.

#15 17. 12. 2011 20:35

Re: Limita.

#16 17. 12. 2011 21:43

Re: Limita.

#17 17. 12. 2011 21:48

Re: Limita.

#18 17. 12. 2011 21:57 — Editoval rendy139 (17. 12. 2011 22:05)

Re: Limita.

#19 17. 12. 2011 22:25

Re: Limita.

#20 17. 12. 2011 22:45

Re: Limita.

#21 17. 12. 2011 22:54

Re: Limita.

Zápatí