Matematické Fórum

simcilka · 16. 12. 2011 13:45

Ahoj mám dokázat ze $\forall n\in \mathbb{N}$ plati $120 | n^{5}-5n^{3}+4n$ rozdelila jsem si cislo $120 =2^{3}\cdot 3\cdot 5$ tedy kdyz dokazu ze je to delitelne 2,3 a 5 tak to staci? No a zasekla jsem na tom ze nevim jak jednoduse a srozumitelne vysvetlit ze to deli 2, zkousela jsem rozdelit na licha a suda, ale nejak nevim jak dal. Nemohl byste mi nekdo poradit jestli se to treba neda udelat nejak jinak? Predem dekuji

standyk · 16. 12. 2011 14:28

↑ simcilka:

Nestačí dokázať, že je deliteľné 2, lebo v tom prvočíselnom rozkalde je $2^3$ .
Skôr by sa hodilo to $n^5-5n^3+4n$ rozpísať na súčin. Skús najprv vyňať n a potom rozdložiť aj ten trojčlen podľa vzorca.

simcilka · 17. 12. 2011 01:05

↑ standyk:

takze musim dokazat, ze je to delitelne 8? jinak ten rozklad jsem si udelala $n(n^{2}-7)(n^{2}+2)$ ale nevim co s tim dal,.. nebo k cemu mi to je,..

FailED · 17. 12. 2011 01:16

↑ simcilka:

Ano, musí to být dělitelné 8, 3 a 5. Je to vidět z prvočíselného rozkladu. Ten rozklad přepočítej.

vanok · 17. 12. 2011 01:21 — Editoval vanok (17. 12. 2011 01:57)

Ahoj ↑ simcilka:,

Tvoj rozklad nie je dobry.

Ale sa lahko overi ze pre $n\in \{ -2, -1, 0, 1, 2 \}$

$n^{5}-5n^{3}+4n$ je $0$ .
To nam da
$n^{5}-5n^{3}+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Dufam ze toto ti pomoze ukoncit tvoj problem.

NAVOD:
Nedzi 5-timy po sebe iducimy cislamy su aspon dve parne (SUDE po Cz) a vieme ze jedno je delitelne 2-my a druhe 4-my.

simcilka · 18. 12. 2011 00:15

A kdyz teda vim ze je to delitelne 2 a 4, tak nevim jak dal, jak mi to pomuze k delitelnosti 8? No a vidim ze je to delitelne 5 ale jak to dokazu tak to take nevim:( a 3, taky nevim jak to mam dokazat pres ten ciferny soucet:( Muzete me prosim jeste nejak hintnout?

vanok · 18. 12. 2011 00:46

↑ simcilka:,
Dufam ze ten rozklad na sucin si dobre asimilovala!
Opoved na tvoju poslednu uvahu
jedno z cisiel je delitelne dvomy
druhe (nie to iste ) je delitelne styrmy
tak ich sucin je tak je tak delitelny 8mimy

Ina metoda
Ak chces vyuzit ze mas sucin 5tych po sebe iducich cisoel
Mizes uvazivat 5 pripadov
cisla formy 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4... v tom sucine a ukazat ze v kazdom pripade je ten sucin delitelny 8imy

Dalsia metoda: indukcia...

Ale podla mna ta prva je najjednoduchsia.

simcilka · 19. 12. 2011 11:17

Jj, delitelnost 8 uz jsem vyresila. Mohu se jeste zeptat na delitelnost 5 a 3? Delitelnost 5 bych udelala tak, ze kdyz to je po sobe 5 jdoucich cisel, tak to urcite bude delitelne jedno 5. Tedy delitelnost 5 je vyresena? A delitelnost 3? Jak dokazu, ze ciferny soucet je delitelny 3? To si mam cisla rozdelit na licha a suda? Nebo se to udela pidobne jako u 5 a 8? Ze to jsou po sobe jdouci cisla?

Cheop · 19. 12. 2011 11:22 — Editoval Cheop (19. 12. 2011 11:22)

↑ simcilka:
Jestliže máš 3 po sobě jdoucí čísla tak vždy jedno z nich je dělitelné trojkou

vanok · 19. 12. 2011 11:24

↑ simcilka:,
to si nasla dokonaly argument na delitelnost 5-tymi

A vsimni si ze ked mas 5 cisiel za sebou, tak mas v nich aj 3 cisla za sebou a pouzi ten isty postup ako na 5.

simcilka · 19. 12. 2011 14:23

Dekuju za pomoc, az ted mi to docvaklo kdyz jsem si to napsala na papir:)

Matematické Fórum

#1 16. 12. 2011 13:45

Dukaz delitelnosti

#2 16. 12. 2011 14:28

Re: Dukaz delitelnosti

#3 17. 12. 2011 01:05

Re: Dukaz delitelnosti

#4 17. 12. 2011 01:16

Re: Dukaz delitelnosti

#5 17. 12. 2011 01:21 — Editoval vanok (17. 12. 2011 01:57)

Re: Dukaz delitelnosti

#6 18. 12. 2011 00:15

Re: Dukaz delitelnosti

#7 18. 12. 2011 00:46

Re: Dukaz delitelnosti

#8 19. 12. 2011 11:17

Re: Dukaz delitelnosti

#9 19. 12. 2011 11:22 — Editoval Cheop (19. 12. 2011 11:22)

Re: Dukaz delitelnosti

#10 19. 12. 2011 11:24

Re: Dukaz delitelnosti

#11 19. 12. 2011 14:23

Re: Dukaz delitelnosti

Zápatí