Matematické Fórum

Tomas5 · 19. 12. 2011 13:37 — Editoval Tomas5 (19. 12. 2011 13:38)

Dobrý den, mám posloupnost zadané rekurentně

$a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2}(b-a_{n}^{2})$

prvních několik členů je

$a_{0}=0,a_{1}=\frac{1}{2}b,a_{2}=b- \frac{1}{8}b^{2}$

Je to aritmetická posloupnost?

Nechci si nechat vyřešit celý příklad, jenom poradit jak určit, zda je to aritmetická nebo geometrická a podle ceho se to urci. Dekuji.

Honzc · 19. 12. 2011 14:32

↑ Tomas5:
Co platí pro $a_{n+1}-a_{n}$ u aritmetické posloupnosti?
A co platí pro $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ u geometrické posloupnosti?

vanok · 19. 12. 2011 14:34 — Editoval vanok (19. 12. 2011 14:35)

Ahoj ↑ Tomas5:,
Na tvoju otazku :Je to aritmetická posloupnost?
Staci najprv vypovitat niekolko rozdielov
$a_1-a_0$
$a_2-a_1$
$a_3-a_2$

Ak uvidis ze to nie je konstatne tak tvoja postupnost nie je arimeticka
(diskuzia pre $b \ne 0$ a $b=0$ )/

Geometricla postupnost to iste nie je ( pre $b \ne 0$ ), lebo $a_0=0$ a tak v pripade geometrickej postupnosti by boli potom vsetku ine cleny nulove
A ak $b=0$ , tak...

Tomas5 · 19. 12. 2011 14:42

když b=0, tak jsou členy posloupnosti samé nuly

Rumburak · 19. 12. 2011 14:56

↑ Tomas5:

Tomas5 napsal(a):
když b=0, tak jsou členy posloupnosti samé nuly

V tomto speciálním případě by to opravdu byla aritmetická posloupnost, ale obecně ne.

Tomas5 · 19. 12. 2011 15:10 — Editoval Tomas5 (19. 12. 2011 15:14)

Zapomněl jsem dodat podmínku, že $0\le b \le 1$

mám vypočítat $\lim_{x\to\infty }a_{n}$ , ale nevím jak, protože posloupnost není monotónní.

vanok · 19. 12. 2011 15:27 — Editoval vanok (19. 12. 2011 15:30)

↑ Tomas5:,
napis cely text problemu, lebo na kusky je mozne inac odpovedat ako v suvise z celym problemom.
Je celkom mozne ze bude treba pouzit indukciu... Tak zacni z vypoctom prvych 5tych ci 6tych clenom, aby si mohol posudit ci je to prijatelna myslienka na riesenie problemu.

Rumburak · 19. 12. 2011 15:42

↑ Tomas5:

Ahoj. Jde o to provést diskusi, jak je to s existencá a hodnotou limity v závislosti na parametru $b$ . Pomohu jen mírně :
Pokud by existovalo konečné reálné číslo $L := \lim_{n \to \infty} a_n$ , pak by z rovnosti

$a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2}(b-a_{n}^{2})$

plynulo $L=L+\frac{1}{2}(b-L^{2})$ , tj. $L^2 = b$ , což určitě není možné v případě $b < 0$ .
Limita (ani nevlastní) rovněž nebude existovat v případech, kdy $b > 0$ a posloupnost alternuje, jsou-li takové.

Tomas5 · 19. 12. 2011 17:03 — Editoval Tomas5 (19. 12. 2011 17:08)

↑ Rumburak:

Promiň já jsem zadal špatně zadání: b leží na intervalu [0,1], jinak je to zajimave

Vypada to, že členy jsou nezáporné, ale porad nevim jestli je funkce monotónní.

vanok · 19. 12. 2011 17:13

Ahoj ↑ Rumburak:,
ano tvoj pristup je jednoduchsi.

Tomas5 · 19. 12. 2011 17:24

děkuju za nástin řešení, potom se na to kouknu.

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2011 13:37 — Editoval Tomas5 (19. 12. 2011 13:38)

rekurentní vzorec

#2 19. 12. 2011 14:32

Re: rekurentní vzorec

#3 19. 12. 2011 14:34 — Editoval vanok (19. 12. 2011 14:35)

Re: rekurentní vzorec

#4 19. 12. 2011 14:42

Re: rekurentní vzorec

#5 19. 12. 2011 14:56

Re: rekurentní vzorec

Tomas5 napsal(a):

#6 19. 12. 2011 15:10 — Editoval Tomas5 (19. 12. 2011 15:14)

Re: rekurentní vzorec

#7 19. 12. 2011 15:27 — Editoval vanok (19. 12. 2011 15:30)

Re: rekurentní vzorec

#8 19. 12. 2011 15:42

Re: rekurentní vzorec

#9 19. 12. 2011 17:03 — Editoval Tomas5 (19. 12. 2011 17:08)

Re: rekurentní vzorec

#10 19. 12. 2011 17:13

Re: rekurentní vzorec

#11 19. 12. 2011 17:24

Re: rekurentní vzorec

Zápatí