Matematické Fórum

Galileo · 19. 12. 2011 16:19

Ahoj,
opět bych potřeboval poradit.
Zadání: Určete definiční obor funkce g, když funkce g je daná předpisem $g: y=\sqrt{2x^{2}+7x-15}+\frac{x^{2}}{x+4}$ .
Takže jsem začal:
$D(g)=\{x\in \mathbb{R}; 2x^{2}+7x-15 \ge 0\wedge x+4\not \equiv 0\}$
Z toho jsem vyvodil, že:
$x\not \equiv -4$
A teď musím vyvodit, co vyplývá z $2x^{2}+7x-15\ge 0$
Nevěděl jsem co dál, tak jsem si vypočítal, že pro $2x^{2}+7x-15=0$ se diskriminant rovná $\frac{3}{2}$ a $-5$ .

Ale teď už vážně nevím, co bych udělal. Můžete mi tedy někdo prosím poradit, jak dál?
Díky.

smatel · 19. 12. 2011 17:12 — Editoval smatel (19. 12. 2011 17:14)

Ahoj. Začátek je v pořádku.
Takže zádrhel je v tomto: $2x^{2}+7x-15\ge 0$

Jedná se o kvadratickou nerovnici. Pak tam řešíš kořeny kvadratické rovnice, ty máš správně, ale píšeš tam o diskriminantu, což ale není diskriminant. Diskriminat je ve vzorci pro kořeny kvadr. rovnice ten výraz pod odmocninou.

Takže jak řešit tuto nerovnici:
$2x^{2}+7x-15\ge 0$
Výraz na levé straně si můžeš představit jako funkci:
$y =2x^{2}+7x-15$
a hledáš takové x, pro které jsou funkční hodnoty větší nebo rovny nule. Takže si nakreslíš graf této funkce - kořeny - průsečíky s osou x jsou 3/2 a -5, koeficient u kvadratického členu je kladný, bude se tedy jednat o parabolu otevřenou nahoru.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+ … 2%2B7x-15+

A nyní se koukneš, kde jsou funkční hodnoty větší nebo rovny nule a zjistíš, že v intervalech
$(-\infty , -5> \cup <\frac{3}{2}, +\infty )$

Teď ještě musíš udělat průnik s tím, že x se nesmí rovnat -4. Takže výsledný Df:

$(-\infty , -4)\cup (-4,-5> \cup <\frac{3}{2}, +\infty )$