Matematické Fórum

anicka · 20. 12. 2011 20:48

Dobrý den, poprosila bych o vyřešení tohoto příkladu.

děkuji

Andrejka3 · 20. 12. 2011 21:07

Snad stačí nápověda - spočítej to z definice.

anicka · 20. 12. 2011 21:16

Jestli jsem to dobře pochopila tak udělám první derivaci a do ní jednoduše dosadím pí a vypočítám. Problém je, že výsledek má být 1 a ten mi stále nevychází. Nejprve jsem derivovala ln poté odmocninu a jako poslední zlomek.

Andrejka3 · 20. 12. 2011 21:29

to by mělo vyjít, kolik ti to vychází?

Andrejka3

Hodnota toho zlomku v bodě pí je 1, tedy i té odmocniny.
Derivace logaritmu je 1/x, kde za x dosadím hodnotu té odmocniny v pí, což je jedna. Zbude derivace odmocniny.
Derivace odmocniny je 1/2 * (hodnota zlomku)^{-1/2} , což je 1/2. Musím to násobit derivací vnitřní fce, což je derivace toho zlomku.
Derivace toho zlomku je $\frac{(-\cos x)(1+\sin x) - (\cos x)(1- \sin x)}{(1+ \sin x)^2}$ v bode x = pi a to vyjde 2.
Kdyz se 2 vynasobi s 1/2 vyjde 1.

Edit (p)oprava

smatel · 20. 12. 2011 21:37

$y = ln {\sqrt{\frac{1-sin x}{1 + sin x}}}$
$y' = (ln {\sqrt{\frac{1-sin x}{1 + sin x}}})' . (\sqrt{\frac{1-sin x}{1 + sin x}})'. ({\frac{1-sin x}{1 + sin x}})'$

$y' = \frac{1}{\sqrt{\frac{1-sin x}{1 + sin x}}} . 0,5 ({\frac{1-sin x}{1 + sin x}})^{-0,5}. {\frac{-cos x (1 + sin x - cos x(1- sin x)}{(1 + sin x)^2}}$

dosadíme do derivace (sin pí = 0 cos pí = -1)

$1\cdot 0.5\cdot 1\cdot 2 = 1$