Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z algebry
- » Svaz ekvivalencí izomorfní svazu podalgeber jisté algebry (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
Anketa
Je tento příklad zajímavý?
| Ano | 100% - 2 | |||||
| Ne | 0% - 0 | |||||
| Nevím | 0% - 0 | |||||
| Počet hlasujících: 4 | ||||||
#1 16. 12. 2011 13:09 — Editoval Andrejka3 (16. 12. 2011 13:12)
Svaz ekvivalencí izomorfní svazu podalgeber jisté algebry
Ahoj, narazila jsem na příklad, který mi přijde docela zajímavý. Kdyby chtěl někdo relaxovat a započítat si trošku, tady je zadání:
Nechť 
je množina. Dokažte, že 
Značení:
je svaz všech ekvivalencí na množině 
je svaz všech podalgeber algebry 
,
je algebra typu (2,2,1,0,0) s nosičem 
, což je potenční množina 
je doplněk množiny do Snad se vám bude líbit :)
Zdravím,
A.
What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Andrejka3)
#2 20. 12. 2011 23:12 — Editoval Andrejka3 (21. 12. 2011 10:00)
Re: Svaz ekvivalencí izomorfní svazu podalgeber jisté algebry
Kdyby někoho zajímalo řešení, tady je (snad tam nejsou chyby)
platí
(1)
(2)
platí
(3)
(4)
a podobně,
Zřejmě jsou 
. Předpokládejme, že 
. Pak pro libovolné 
je 
, odkud vidíme, že 
. Nechť jsou 
. Pak pro libovolné 
. Je tedy 
. Analogicky, pro libovolné 
, proto 
.
Reflexivita relace 
je zřejmá: 
. Symetrie relace plyne ze symetrie logické spojky ''
''. Ověřme tranzitivitu: Ať 
. Pak 
, tedy tranzitivita relace 
(5)
je prosté a 
je na. Naopak také
(6)
(8)
, musíme ověřit obě inkluze.
volme 
. 
je triviální případ. Ať 
. Označme ![$M_{\sim}:= \bigcup_{\substack{x \in M}}[x]_{\sim} \;, \;M_{\approx}:= \bigcup_{\substack{x \in M}}[x]_{\approx}\;,$](/mathtex/33/33f4dc9a30c6c444aa4f40bed9d14a5b.gif "kopírovat do textarea")
kde hranaté závorky symbolizují třídu příslušné ekvivalence příslušné prvku v závorce. Tvrdím, že 
. Inkluze ''
'' je zřejmá, dokazuji inkluzi ''
'': Pokud 
, pak ![$\exists y_{\sim} \in M : x \in [y_{\sim}]_{\sim}$](/mathtex/a8/a8b80ccd072abc95c6f3de21ce0203fa.gif "kopírovat do textarea")
a ![$\exists y_{\approx} \in M : x \in [y_{\approx}]_{\approx}$](/mathtex/49/4938ca8aaf43fa089e0c8fab1b920d2e.gif "kopírovat do textarea")
.
, je 
. Pak ale 
, protože například 
a 
.
je podalgebrou algebry 
. 
(9) 
,
)
.
. Je-li 
pak 
a tedy 
, tudíž 
a 
takové, že 
pro 
. Pak 
, tedy 
.Edit: (8), napraveno (chyba z kopirovani), radek pred (9) to same.
, což bylo vytržené z kontextu.What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'
Offline
#3 20. 12. 2011 23:40
Re: Svaz ekvivalencí izomorfní svazu podalgeber jisté algebry
↑ Andrejka3:
Zdravím,
snažil jsem se zběžně úlohu několikrát vyřešit - marně.
Je to úloha 107. ze sbírky příkladů Davida Stanovského (?)
Váš důkaz jsem ještě neprocházel, ale letmým pohledem na něj mi přijde, že je odlišný od postupů, které jsem volil.
Zkusím to dát do kupy.
Offline
#4 20. 12. 2011 23:46
Re: Svaz ekvivalencí izomorfní svazu podalgeber jisté algebry
↑ constr:
Ano, je to on. S doktorem Stanovským jsem to nekonzultovala (nevím, zda vůbec budu). Nevím, zda to je dobře. Párkrát jsem se do toho zamotala. Pokud máš jiné řešení nebo jiný pohled, ráda se na něj podívám. Ten můj mi nepřijde nějak obzvlášť jednoduchý. Pokud máš hezké řešení příkladu 108 a chceš se podělit, napiš prosím tam.
What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z algebry
- » Svaz ekvivalencí izomorfní svazu podalgeber jisté algebry (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)