Matematické Fórum

Prochycz · 16. 12. 2011 23:10

Zdravim, potřeboval poradit s následujícím příkladem:
Vypočítejte:
$\int_{}^{}\int_{S}^{}xdydz+ydxdz+zdxdy$
kde plocha S je vnější povrch válce:
$x^2+y^2=1,0\le z\le 1$
Jelikož to je válec, tak počítám s tím, že to bude nejlepší převést na válcové souřadnice:
$x=cos\varphi\nl y=sin\varphi\nl z=z$
A dál nevim přesně co s tim. Díval jsem se mathonline.fme.vutbr.cz, a tam jsem to moc nepochopil. Zkusil jsem kouknout na ukázkovej příklad, a zkusil jsem tento postup:
Zderivovat jednotlivé proměnné:
$dx=-Sin\varphi dt\nldy=Cos\varphi dt\nldz=1dt\nlt<0,2\pi>$
A následující hodnoty dosadit do integrálu, ale bohužel mi to nevyšlo. Byl to jedinej řešenej příklad, který sem na to viděl. Jinak sem našel vždycky, které měli zadání ve formě dS, a to sem nevěděl, jak skloubit s mým zadáním.
Za případné rady budu moc vděčný :-)

Rumburak · 17. 12. 2011 11:26

↑ Prochycz:

Když máme substituci
$x=cos\varphi\nl y=sin\varphi\nl z=z$ ,
odkud se vzala proměnná $t$ ?

Proměnnou $z$ substituce zachovává, takže vyjadřovat $dz=1dt$ je chyba (i když pomineme předchozí poznámku).

Prochycz · 17. 12. 2011 14:34

Děkuji za upozornění to jsem akorát nezměnil, jak se se to snažil udělat podle toho příkladu. Samozřejmě tam musí být toto:
$dx=-Sin\varphi d\varhphi \nldy=Cos\varphi d\varphi \nldz=1dz\nl\varphi<0,2\pi>\nlz<0,1>$
Ale když toto dosadím do toho integrálu:
$\int_{}^{}\int_{S}^{}xdydz+ydxdz+zdxdy$
$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}(cos\varphi*cos\varphi +sin\varphi*(-sin\varphi))d\varphi dz+\int_{0}^{2\pi}z*(-sin\varphi)cos\varphi d\varphi$
Tak mi to nevyjde podle výsledků, takže počítám s tím, že špatně dosazuju do toho integrálu, ale nevim kde dělám chybu.

Rumburak

Ta chyba je vážnější, než jsem z Tvého předchozího příspěvku předpokládal , a sice v použití vzorce pro substituci.

Substituční vztahy zde mají tvar $x = x(z, \varphi), y = y (z, \varphi) , z = z(z, \varphi)$ , takže nestačí dosadit $\mathrm{d}x=-\sin \varphi \mathrm{d}\varphi, \mathrm{d}y= \cos\varphi \mathrm{d} \varphi$ ,

ale obdobně jako při substituci ve dvojném integrálu $\mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{D(x,y)}{D(z, \varphi)} \mathrm{d}z \mathrm{d}\varphi$ , obdobně pro ostatní proměnbné.
Ten "zlomek" je příslušný Jacobiho determinant - zde (narozdíl od "normálního" dvojného integrálu) není v absolutní hodnotě, avšak znaménko před výsledným
integrálem nutno určit dle volby orientace plochy.

Podrobněji zde.

Prochycz

Díval jsem se ještě na jiný stránky věnující se plošným integrálům a ukázkovým příkladům a doufám, že už jsem to pochopil.Takže jestli to správně chápu, tak si udělám derivaci os podle $\varphi$ a potom podle $z$ a následně udělám vektorový součin?
Takže podle $\varphi$ :
$\vec{\Gamma_1}= \frac{\partial S}{\partial \varphi }=(-sin\varphi,cos\varphi,0)$
podle $z$ :
$\vec{\Gamma_1}= \frac{\partial S}{\partial z}=(0,0,1)$
vektorový součin:

A poté sestavim výsledný integrál:
$\int_{}^{}\int_{S}^{} xdydz+ydxdz+zdydx=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(cos^2\varphi+sin^2\varphi+0)dzd\varphi=2\pi$
Takže výsledek by měl být $2\pi$ . Problém je, že ve výsledích je uvedeno $3\pi$ , tak by mě zajímalo, jestli mám někde chybu nebo je špatně uveden výsledek. Děkuji za případnou opravu

Rumburak

↑ Prochycz:
S tou symbolikou využívající vektorový součin nemám zkušenosti, zkusím to spočítat raději "klasicky" a pomocí co nejelementárnějších prostředků.

Ten integrál

$\int \!\!\int_{S} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z + y\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d}z + z\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}x$

rozdělíme na součet tři integrálů

$A := \int \!\!\int_{S} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z , B := \int \!\!\int_{S} y\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d}z , C := \int \!\!\int_{S} z\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}x$

a každý počítámet zvláš't - důvodem jsou znaménkové kalkulace s ohledem na orientaci plochy.

Na první pohled je jasné, že C = 0 , protože průmětem plochy do roviny Pxy je kružnice, tedy množina dvojrozměrné míry 0.

Počítejme integrál A . Položme $S = S_{x+} \cup S_{x-}$ , kde

$S_{x+} := \{ [x, y, z] \in S : x \ge 0 \} , S_{x-} := \{ [x, y, z] \in S : x \le 0 \}$ ,

Průnik ploch $S_{x+} , S_{x-}$ má zřejmě plošnou míru 0, takže $A = A_{+} + A_{-}$ , kde

$A_{+} := \int \!\!\int_{S_{x+}} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z , A_{-} := \int \!\!\int_{S_{x-}} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z$ .

Je tedy

(1) $A_{+} = \int \!\!\int_{S_{x+}} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z = \mathrm{zn}(S_{x+}) \int \!\!\int_{P_{yz}(S_{x+})} \sqrt{1-y^2}\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z$ ,

kde $P_{yz}(S_{x+})$ je průmět množiny $S_{x+}$ do roviny Pyz a $\mathrm{zn}(S_{x+}) = 1$ , protože díváme-li se na plochu $S_{x+}$ ve směru od $x = +\infty$ do $x = -\infty$ ,
vidíme vnější stranu plochy $S$ . Na pravé straně (1) už máme "normální" dvojný integrál . Obdobně

(2) $A_{-} = \int \!\!\int_{S_{x-}} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z = \mathrm{zn}(S_{x-}) \int \!\!\int_{P_{yz}(S_{x-})} $-\sqrt{1-y^2}$\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z$ ,

zde bude $\mathrm{zn}(S_{x-}) = -1$ , protože díváme-li se na plochu $S_{x-}$ v tomtéž směru od $x = +\infty$ do $x = -\infty$ , vidíme vnitřní stranu plochy $S$ .

Zřejmě $P_{yz}(S_{x+}) = P_{yz}(S_{x-}) = \{ [y, z] \in \mathbb{R}^2 : -1 \le y \le 1 \wedge 0 < z < 1 \}$ , proto

$A = \int \!\!\int_{P_{yz}(S_{x+})} \sqrt{1-y^2}\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z - \int \!\!\int_{P_{yz}(S_{x-})} $-\sqrt{1-y^2}$\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z =\\ = 2 \int_0^1\int_{-1}^1\sqrt{1-y^2}\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z = 2 \int_{-1}^1\sqrt{1-y^2}\,\mathrm{d} y = \pi$ .

Integrál B by měl vyjít stejně, od A se liší jen jiným označením proměnných.

Prochycz · 21. 12. 2011 23:40

↑ Rumburak:
Děkuji za vyčerpávající odpověď, zkusim to zpracovat a pochopit. Velice si vážim Vaši pomoci.
Přeji hezké prožití Vánoc.

Rumburak · 22. 12. 2011 14:16

↑ Prochycz:
Hezké Vánoce i Vám.
Ještě mne napadla jedna věc: Plocha S určená nerovnostmi $x^2+y^2=1,0\le z\le 1$ je plášť jistého válce.
Výsledek
$\int \!\!\int_{M} (x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}z + y\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d}z + z\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d}x) = 3\pi$

bychom dostali, když by M bylo celou hranicí tohoto válce včetně podstav (nebo alespoň když bychom k S přídali horní podstavu v rovině z =1,
protože integrál přes dolní podstavu v rovině z = 0 je 0).

Matematické Fórum

#1 16. 12. 2011 23:10

Plošný integrál - výpočet obsahu válce

#2 17. 12. 2011 11:26

Re: Plošný integrál - výpočet obsahu válce

#3 17. 12. 2011 14:34

Re: Plošný integrál - výpočet obsahu válce

#4 19. 12. 2011 14:04 — Editoval Rumburak (19. 12. 2011 14:05)

Re: Plošný integrál - výpočet obsahu válce

#5 19. 12. 2011 21:26 — Editoval Prochycz (19. 12. 2011 21:30)

Re: Plošný integrál - výpočet obsahu válce

#6 21. 12. 2011 15:22 — Editoval Rumburak (21. 12. 2011 15:50)

Re: Plošný integrál - výpočet obsahu válce

#7 21. 12. 2011 23:40

Re: Plošný integrál - výpočet obsahu válce

#8 22. 12. 2011 14:16

Re: Plošný integrál - výpočet obsahu válce

Zápatí