Matematické Fórum

Torpy · 21. 12. 2011 10:20 — Editoval Torpy (22. 12. 2011 08:16)

Zdravím,
mám následující příklad:
Spočtěte integrál $\int_S{-y \mathrm{d}y\mathrm{d}z + x \mathrm{d}z\mathrm{d}x + z \mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ , kde S je vnější strana povrchu válce $x^2+y^2 \le r^2, 0\le z \le h$

1. spočítal jsem zadaný integrál přes obě základny:
$z=h$ :
parametrizoval jsem:
$x(u,v)=u, \ \ y(u,v)=v, \ \ z(u,v)=h$
Pak mi zadaný integrál vyšel jako
$\int{\left( f_1,f_2,f_3 \right) \cdot \left( \left( \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u} \right) \times \left( \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v} \right) \right) \mathrm{d}u \mathrm{d}v} = \int{\left(-v,u,h \right) \cdot \left( 0,0,1 \right) \mathrm{d}u \mathrm{d}v } = \int{h \mathrm{d}u \mathrm{d}v}=h\cdot\Pi \cdot r^2$

$z=0$ :
parametrizace:
$x(u,v)=u, \ \ y(u,v)=v, \ \ z(u,v)=0$
vyšel integrál rovný nule.

2. teď je třeba ještě integrál přes plášť a tam je pro mě kámen úrazu - nevím jakou použít parametrizaci.
Možná něco ve stylu $x=r \cos{\alpha}, \ \ y=r \sin{\alpha}$ ?? Ale jak pak parametrizovat to z??

Edit:
už asi vím:
zavedl bych parametrizaci:
$x(t,z)=r \cos{t}, \ \ y(t,z)=r \sin{t}, \ \ z(t,z)=z$
Integrál pak vyjde roven nule.

Je to tak?
Všem díky za radu!