Matematické Fórum

matoxy · 10. 08. 2008 17:55

K tomuto:

matoxy napsal(a):
k príkladu č.93.)
len by som mal otázku k členom p a q. To, že člen p je počiatočná rýchlos? a q je počiatočná dráha by sme mohli zisti? tak, že by sme sledovali "správanie" paraboly pri dosadzovaní rôznych dôležitých čísel za členy p a q?

Už mi je to jasné.
- Graf funkcie s(t)''=2k, keďže funkcia je konštantná vyplíva z toho, že o "jej výške" rozhoduje iba písmenko k. Keďže je to graf zrýchlenia, tak k bude zrýchlenie.
- Graf funkcie s(t)'=2kt + p. O tom kde bude pretína? graf funkcie y-ovú os rozhodne písmenko p. Keďže je to graf okamžitej rýchlosti, tak o tom aká je rýchlos? v čase nula rozhoduje p.
- Graf funkcie s(t)=2kt^2 + p +q. V čase t=0 bude funkčná hodnota rovná q. Keďže je to graf dráhy podľa času, tak q bude počiatočná dráha.

K tomuto:

matoxy napsal(a):
96.) Zrýchlenie by išlo dopočíta? takto: $s=\frac12 at^2\Rightarrow a=\frac{2s}{t^2}=0,27m\cdot s^{-1}$ . Len sa mi na tom nepáči to, že tam vôbec netreba derivácie a nejak ma nenapadá ako by mi pri tom mohly pomôc?.

Uhm, len neveim prečo sa mi vtedy nejak nepozdávalo, že predpokladáme, že 2. derivácia dráhy je zrýchlenie, ale z grafu je to jasné a teda odvodenie toho vzorca už chápem. Čo sa týka odvodenie tohto vzorca pomocou integrácie, tak to asi nechám na pozdejšie.

A ruština u mňa zatiaľ nie, ani azbuku som sa ešte nenaučil, no tiež to patrí do kategórie časom:).

jelena · 10. 08. 2008 22:58

↑ matoxy:

Jsou ještě malé drobné nesrovnalosti, ale to detail :-)

Graf funkce s''(t)=a (konstanta - zrychlení), nebudeme tam davat 2k, ale rovnou a jako označení pro zrychleni. Jinak celý tvůj výklad OK.

Graf funkce s´(t)=at + p - tady všechno OK

Graf funkce s(t)=(a/2)t^2 + pt +q - tady jsem to změnila, navazuje na použití a hned na počátku, dále u p se musí objevit t (pro kontrolu derivuj). A ted už jen doplnit, co jsi správně usoudil ohledně p, q.

Kroky, co jsi provedl od s''(t)=a až k s(t) je totez, jaku užití integralu pro odvození vzorce :-) - trochu lépe řečeno hledání primitivní funkce

Myslim, že už je to celé jasné :-)

matoxy · 24. 08. 2008 18:29

Po menšej-väčšej prestávke som ešte na chvíľu znova tu.
Rád by som ešte poradi? s pár príkladmi na vyšetrovanie priebehu funkcie, resp. hľadanie asymptot postupom aký je uvedený tu.

1.) Ak by som hľadal asymptotu ku funkcií $y=x$ , vyšlo by mi, že je táto funkcia asymptotou samou sebe. Správne? Ak áno nie je to trocha zvláštne? Totiž v škole sme si asymptotu definovali ako dotyčnicu v nekončene a to sa mi pre takéto zistenie nehodí.

2.) Ak by som hľadal symptotu k funkcii $y=x^2$ došiel by som k rovnici asymptoty: $\lim_{x \to \infty}p=x^2x$ . Takáto rovnica existova? myslím nemôže nie? To by znamenalo, že funkcia nemá asymptotu, ale podľa postupu uvedeného na stránke je podmienka toho, či má funkcia asymptotu to, či existujú limity: $a=\lim_{x \to +\infty}\frac{f_{(x)}}{x}$ a $b=\lim_{x \to +\infty}[f_{(x)}-ax]$ . Ak sa nemýlim tak obidve z týchto limít existujú. A funkcia napriek tomu nemá asymptotu. Kde je chyba v tomto postupe?

Jorica · 24. 08. 2008 18:58

↑ matoxy:
ad 2. Pokud vypoctes $a=\lim_{x \to +\infty}\frac{f_{(x)}}{x}$ , pro funkci $y=x^2$ , je vysledkem nekonecno, tzn. ze limita existuje, ale jde o limitu nevlastni. Mylsim, ze by melo byt v textu presneji uvedeno, ze fce ma asymptotu se smernici, jejiz rovnice je $y=ax+b$ , pokud existuje VLASTNI limity pro a, b.....

Podle tohoto upresneneho tvrzeni fce $y=x^2$ asymptotu se smernici nema, protoze vysledkem limity pro koeficient a (pro x jdouci k +oo i -oo) je oo.

Pavel · 24. 08. 2008 19:00 — Editoval Pavel (24. 08. 2008 19:01)

↑ matoxy:

ad 1) No ano, funkce y=x je sama sobě tečnou v libovolném reálném čísle. Definujeme-li asymptotu o rovnici $ax+b$ funkce f(x) v $\pm\infty$ pomocí limity $\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-(ax+b))=0$ , pak je tato podmínka pro funkci f(x)=x a asymptotu y=x splněna.

ad 2) Obě limity existovat musí, ale navíc, tyto musí být vlastní. Což pro první z nich neplatí.

matoxy · 24. 08. 2008 19:21

Pavel, ďakujem. To, že musia by? vlastné mi nejako ušlo.

matoxy · 24. 08. 2008 19:54

Ešte mám otázku k teórii vyšetrovaniu priebehu funkcie: Ako zistím, či je funkcia periodická?

Pavel · 24. 08. 2008 20:53

↑ matoxy:

Laicky řečeno, Marian mi odpustí zjednodušení :-), pokud se v zadání objeví sinus, cosinus, tangens nebo cotangens, "zavání" to periodičností. Pak je třeba hledat minimální kladné p takové, že f(x+p)=f(x).

Marian · 25. 08. 2008 06:52 — Editoval Marian (25. 08. 2008 07:23)

↑ Jorica:↑ Pavel:↑ matoxy:
Zdravím Vás, Pavla pak obzvláště.

Chtěl bych ještě cosi dodat. Pokud není nijak zřetelné nebo není uvedeno, není vůbec zřejmé, co značí symbol $\infty$ . V některých textech značí toto výhradně $+\infty$ , v jiných je uvedena poznámka o tom, že má smysl $\pm\infty$ , což jsou již dva symboly. Tedy ve výrazu $a:=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ jsou ukryty dvě limity. Musí existovat alespoň jedna z nich a být vlastní. K tomu, aby existovala asymptota (nesvislá), je zapotřebí ještě spočítat nebo jinak ukázat, že existuje příslušná limita $\lim_{x\to\pm\infty}\left (f(x)-a\cdot x\right )$ . Celkem se tedy de facto počítají limity čtyři.

A maličká poznámka k Pavlovi a jeho periodicitě. Funkce f(x) se nazývá periodická, jestliže pro všechna $x\in D_f$ existuje fixní číslo [/tex]p>0[/tex] takové, že platí rovnice $f(x+p)=f(x)$ . Pak číslo p>0 nazýváme periodou funkce f(x) na D_f. Číslo se pak nazývá minimální perioda funkce f(x) na D_f.

Tedy stačí ukázat, že takové číslo existuje, není nutné hledat nejmenší.

Příklad. Funkce $f(x):=\sin x, D_f=\langle 0,+\infty )$ je jistě periodická s $p_{\min}=2\pi$ , ale funkce $g(x):=\sin x,D_g=\langle 0,10^{2008}\rangle$ už periodická není.

A další poznámka, nepíšeme v češtině cosinus, ale kosinus, podobně jako kotangens. Kromě periodičnosti to pak zavání i chybou :-)

Marian · 25. 08. 2008 08:24

↑ Pavel:
Dirichletova funkce je periodická např. s periodou p=1. Ale nejsem si jistý, jestli jsem někdy takový příklad periodické funkce viděl uvedený. Zajímalo by mě celkem, jak je to s minimální periodou funkce. Totiž minimální perioda je taktéž perioda funkce, tedy minimální perioda je kladné číslo, které musí být ale menší než libovolné kladné racionální číslo (nebo? D(x+p/q)=D(x), pro p/q>0), což je jistě spor. Tedy tak, jak se chápe pojem periodická funkce a minimální perioda, je Dirichletova funkce příkladem funkce, která je periodická (dokonce s libovolnou racionální periodou), avšak neexistuje u ní nejmenší perioda.

matoxy · 27. 08. 2008 12:39

Marian a Pavel:

To laicky chápem, no nie celkom vždy to platí, že ak je vo funkcii sinus, kosinus... tak je periodická. Existuje na to, ako to overi? nejaký postup bez toho, aby som si musel kresli? graf?

Pavel Brožek

↑ matoxy:
Pokud máš periodickou funkci f s periodou p a ne nutně periodickou funkci g ( $H_f\subseteq D_g$ ), pak funkce $h(x)=g(f(x))$ je také periodická s periodou p.

Nebo ještě líp, pokud budeš mít n periodických funkcí $f_i,\, i\in\{1,\ldots,n\}$ s periodami $p_i$ a bude platit

$\forall i, j\in\{1,\ldots,n\}\,\frac{p_i}{p_j}\in\mathbb{Q}$

a funkci g n proměnných ( $H_{f_1}\times\cdots\times H_{f_n}\subseteq D_g$ ), pak funkce

$h(x)=g(f_1(x),\ldots,f_n(x))$

bude periodická. Myslím, že tohle většinou stačí na to, abychom mohli o funkci říct, že je periodická.

Doufám, že je to správně, pokud ne, opravte mne, prosím. (Odnikud to nemám, pokusil jsem se pouze o sepsání zřejmého pravidla).

EDIT: Ještě myslím, že by se mohlo hodit: Pokud je funkce f periodická s periodou p, pak funkce $f(ax+b)$ je periodická s periodou $\frac{p}{a}$ .

↑ Marian:

Existuje i jednodušší funkce, která nebude mít minimální periodu - konstantní funkce.

matoxy · 28. 08. 2008 12:54 — Editoval matoxy (28. 08. 2008 12:59)

BrozekP: čo znamená táto značka $\subseteq$ ? A táto $\forall i, j$ ?

+ nejak mi nevychádza tento príklad: Vyšetrite priebeh funkcie: $y=\sqrt{\sin {x^2}}$ .

- usúdil som, že ide o 3-itú zloženú funkciu. Tak som ju zderivoval: $y'=\frac{1}{2\sqrt{\sin {x^2}}}\cdot\cos {x^2}\cdot 2x=\frac{x\cdot\cos {x^2}}{\sqrt{\sin {x^2}}}$

Ak chcem nájs? lokálne extrémy, tak položím túto deriváciu rovnú nule, čím dostanem: $0=\frac{x\cdot\cos {x^2}}{\sqrt{\sin {x^2}}}$

Jeden z koreňov tejto rovnice je $x_1=0$ a druhý $x_2=\sqrt{\frac\pi2}+k\pi$ . Určil som si intervali $\left( \sqrt{\frac\pi2}-\pi;0\right),\left( 0;\sqrt{\frac\pi2}\right),\left( \sqrt{\frac\pi2};\sqrt{\frac\pi2}+\pi\right)$

Tu (príklad 62.) však uvádzajú úplne iný výsledok.

Mohly by ste sa na to niekto pozrei?, kde tam mám chybu?

Pavel Brožek

↑ matoxy:

$A\subseteq B$ znamená, že A je podmnožina B nebo je rovna množině B (analogicky k $\leq$ pro čísla). Často se to píše jenom jako $A\subset B$ a přesto se tím připouští i rovnost.

$\forall$ je značka "pro všechna".
$\forall i, j\in\{1,\ldots,n\}\,\frac{p_i}{p_j}\in\mathbb{Q}$ - tím jsem jenom napsal, že všechny periody jsou vzájemně v poměru racionálních čísel. Pokud si vezmeme funkci $\sin x\cdot\sin{\pi x}$ , tak ta například není periodická. Funkce $\sin (\frac{3\pi}{7}x)\cdot\sin(\frac{2\pi}{5} x)$ je periodická s periodou 70.

K průběhu funkce:
Obor hodnot je zřejmě [0,1], takže minima nabývá funkce tam, kde
$\sqrt{\sin x^2}=0\nl \sin x^2=0\nl x^2=k\pi,\,k\in\mathbb{N}_0\nl x=\pm\sqrt{k\pi},\,k\in\mathbb{N}_0$

Podobně s maximy:
$\sqrt{\sin x^2}=1\nl \sin x^2=1\nl x^2=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\in\mathbb{N}_0\nl x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+2k\pi},\,k\in\mathbb{N}_0\nl x=\pm\sqrt{\pi}\sqrt{\frac{4k+1}{2}},\,k\in\mathbb{N}_0$

Takže jim tam chybí odmocnina u $\pi$ . Dalo by se to řešit i přes derivace, ale tam si musíš dávat pozor na kraje intervalů, na kterých je funkce definována. Také ne všechny body, kde vyjde derivace nulová, jsou v definičním oboru funkce. Tak jak jsem to řešil je to mnohem jednodušší.

ttopi · 28. 08. 2008 14:03 — Editoval ttopi (28. 08. 2008 14:04)

BrozekP napsal(a):
↑ matoxy:

$A\subseteq B$ znamená, že A je podmnožina B nebo je rovna množině B (analogicky k $\leq$ pro čísla). Často se to píše jenom jako $A\subset B$ a přesto se tím připouští i rovnost.

To by mohlo souviset s tím, že každá množina je sama sobě podmnožinou - tím pádem se rovnost nemusí připouštět, stačí pouze, že je podmnožinou, tedy $\subset$

Pavel Brožek

↑ ttopi:

Pokud právě bereme symbol $A\subset B$ ve smyslu $A\subseteq B\,\wedge\, A\neq B$ , pak neplatí $A\subset A$ . Toto značení odpovídá novějšímu značení podle normy "ČSN ISO 31-11 Matematické znaky a značky používané ve fyzikálních vědách a technice" přijaté v roce 1998 (Vycházím z Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce pro střední školy, Jiří Mikulčák, 2003, nakladatelství Prometheus. Přístup přímo k normě nemám.)

Tím ovšem nechci nikoho nutit se řídit přesně podle norem :-). To bychom museli například používat:

$\mathbb{N}$ pro přirozená čísla včetně nuly
$\mathbb{N}^*$ pro přirozená čísla bez nuly
$\tan x$ , nikoliv $\text{tg} x$
$\lg x$ pro dekadický logaritmus x

ttopi · 28. 08. 2008 14:34

↑ BrozekP:
Já jsem přece rovnost nevyloučil. Jen jsem považoval za zbytečné to zvýrazňovat tou čárkou, když i totožná množina je podmnožinou, proto volím jednoduše $A\subset B$

Pavel Brožek · 28. 08. 2008 14:41

↑ ttopi:

Podle té normy ale každá množina je svou podmnožinou pouze ve smyslu $A\subseteq A$ nikoli ve smyslu $A\subset A$ . Je to zcela analogické značení $<, \leq$ pro čísla. To, že se běžně tato norma ingnoruje, je věc jiná.

matoxy · 28. 08. 2008 14:45

BrozekP:

- k tej funkcii. Ako prídem k tomu, čo je obor hodnôt funkcie? Možno sa to už učilo kedysi v deviatej triede, ale akosi si neveim spomenú? ako sa to robí.

- k tej periodičnosti. Ako ste prišli k tomu, že tieto funkcie: $\sin x\cdot\sin{\pi x}$ , $\sin (\frac{3\pi}{7}x)\cdot\sin(\frac{2\pi}{5} x)$ sú či niesú periodické?

Pavel Brožek · 28. 08. 2008 15:07

Obor hodnot je většinou zřejmý, když si funkci projdeš od té nejvnitřnější, ukážu na příkladu $f(x)=\sqrt{\sin x^2}$ . Obor hodnot funkce $x^2$ je $\mathbb{R}_0^+$ . Obor hodnot $\sin x^2$ je proto [-1,1]. Zřejmě ale musí být pod odmocninou nezáporné číslo, takže taková x, pro která je $\sin x^2$ záporný nejsou v definičním oboru f. $\sin x^2$ má tedy pro x z definičního oboru f obor hodnot [0,1]. A odmocnina zobrazí interval [0,1] opět na interval [0,1].

Není na tom nic tak složitého, ani si nevzpomínám, že by se to někdy učilo. Je třeba se jen trochu zamyslet nad funkcemi z kterých se výsledná funkce skládá. Někdy je potřeba spočítat nějakou tu derivaci, abychom určili maxima a minima. Nevím jestli na určení oboru hodnot existuje nějaký standardní postup.

K té periodicitě:
$f(x+70)=\sin \left(\frac{3\pi}{7}(x+70)\right)\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{5} (x+70)\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{7}x+30\pi\right)\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{5} x+28\pi\right)=\sin \left(\frac{3\pi}{7}x\right)\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{5} x\right)=f(x)$

Proto je periodická. Jak jsem přišel na to, že je to číslo 70? Jde o nejmenší společný násobek period těch dvou sinů.

$\sin x\cdot\sin{\pi x}$ není periodická. Nenapadá mě jak bych to jednoduše ukázal, trochu to je vidět z toho, že periody, které jsou v poměru iracionálního čísla "nemají nejmenší společný násobek".

matoxy · 29. 08. 2008 18:57 — Editoval matoxy (29. 08. 2008 18:58)

BrozekP ten definičný obor už chápem. Len som myslel, že som zabudol na nejaký spôsob ako sa to robilo.

Tá periodicita, tam mi robí hlavne problém moja, ako som cez prázdniny zistil, dos? slabá znalos? goniometire. No časom to hádam pochopím lepšie.

matoxy · 01. 09. 2008 09:04

Koniec prázdnin je tu už naozaj dnes a zajtra sa treba pobra? do školy. Celkom rýchlo ubehlo tých 66 dní. Cez prázdniny som sa však okrem čerpania nových síl a nápadov do ďalšieho školského roku trochu povenoval aj matematike, pričom mi pomohlo aj pár ľudí z tohto fóra. Zvláš? ďakujem Jelene, ktorá mi dos? pomohla nie len v tejto téme, samozrejme však aj všetkým ostatným, ktorý mi venovali kus času.

Matematické Fórum

#76 10. 08. 2008 17:55

Re: Limity

matoxy napsal(a):

matoxy napsal(a):

#77 10. 08. 2008 22:58

Re: Limity

#78 24. 08. 2008 18:29

Re: Limity

#79 24. 08. 2008 18:58

Re: Limity

#80 24. 08. 2008 19:00 — Editoval Pavel (24. 08. 2008 19:01)

Re: Limity

#81 24. 08. 2008 19:21

Re: Limity

#82 24. 08. 2008 19:54

Re: Limity

#83 24. 08. 2008 20:53

Re: Limity

#84 25. 08. 2008 06:52 — Editoval Marian (25. 08. 2008 07:23)

Re: Limity

#85 25. 08. 2008 08:24

Re: Limity

#86 27. 08. 2008 12:39

Re: Limity

#87 27. 08. 2008 13:34 — Editoval BrozekP (27. 08. 2008 13:44)

Re: Limity

#88 28. 08. 2008 12:54 — Editoval matoxy (28. 08. 2008 12:59)

Re: Limity

#89 28. 08. 2008 13:43 — Editoval BrozekP (28. 08. 2008 14:01)

Re: Limity

#90 28. 08. 2008 14:03 — Editoval ttopi (28. 08. 2008 14:04)

Re: Limity

BrozekP napsal(a):

#91 28. 08. 2008 14:27 — Editoval BrozekP (28. 08. 2008 14:34)

Re: Limity

#92 28. 08. 2008 14:34

Re: Limity

#93 28. 08. 2008 14:41

Re: Limity

#94 28. 08. 2008 14:45

Re: Limity

#95 28. 08. 2008 15:07

Re: Limity

#96 29. 08. 2008 18:57 — Editoval matoxy (29. 08. 2008 18:58)

Re: Limity

#97 01. 09. 2008 09:04

Re: Limity

Zápatí