Matematické Fórum

JohnNash · 25. 12. 2011 11:41

Ahoj,
počítal jsem limitu funkce ze starých písemek z IESu. Potřeboval bych od někoho zkontroloval správnost výpočtu po formální stránce. Přikládám nascanovaný obráze, resp. odkaz na něj na leteckeposte.cz.

Předem děkuji za pomoc!

http://leteckaposta.cz/502698997

halogan

Úplně dobře to nevidím, ani nějak nevidím původní zadání (01/02 to je? Kalenda?)

1) Nikde tam nevidím vysvětlený přechod z posloupnosti na funkci.

2) VOLSF #1:
a) Že je ta limita 1 je dost jasné, ale bylo by fajn jen zakroužkovat ty 3 členy a udělat tam šipku k nule.
b) Ta funkce nenabývá jedničky v nekonečnu. Stačí ale napsat, že všechny ty tři členy umocněné na x jsou vždy větší než nula. Tím je splněna podmínka (P).

3) Všude, kde píšete "..." musí být každému jasné, co tím myslíte. Nejsou na nás kladeny takové nároky, že bychom tam museli psát něco přes "o" značení, ale nemůžeme si to zas moc zkracovat.

4) Pročítám si výpočty a vidím, že VOLSF #1 jsi tam použil bez aritmetiky, úplně nějak bokem. To by nešlo. Použil jsi to tam stylem
$\lim_{x \to 0} \frac{a - \sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a - x}{x}$

Pokud teda správně koukám na ty úpravy.

---

Ještě na to mrknu.

JohnNash

↑ halogan:
Je to z http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/ … 5/mi-d.pdf

1) Heineho jsem tam snad ani využívat nemusel ne? Již to bylo zadané jako limita funkce...
2) a) napraveno...
b) podmínka P mi zde právě není úplně jasná, myslel jsem, že jde o to, že naše konkrétní vnitřní funkce nesmí na nějakém okolí (u nás okolí nekočna?) nabývat svojí limity (tj.1). A pak říci, ze funkce své limity nenabude nikdy, protože neexistuje nic jako bod nekonečna, ale nevím, jak to řádně zapsat. To že ty členy umocněné na x sou větší než nula je pravda, nenapadlo mě to a je to pěkný, díky.

3) Jedná se pravděpodobně o limitu posloupnosti z prvního příkladu, tu jsem ani nechtěl kontrolovat, je trochu "odfláklá". V písemce bych měl tedy použít co? Zbytek přes sumy nebo zmíněné zbytky přes O?

4) Myslíš tu úpravu u šipky ve VOLFS#1? Upravil jsem to v čitateli, nijak jsem to nerozepisoval, i tak, jak by to mělo být formálně správně?

halogan

1) Jo aha, to jsou dvě limity, viděl jsem n, pak x, tak proto. OK.

2) Ona ta podmínka (P) nemusí být úplně do poslední tečky vysvětlena. My měli v písemce periodickou funkci (a monotónní mezi), tak jsem prostě napsal, že pro okolí menší než perioda to nenabývá té hodnoty a v pohodě to bylo.

3) Pokud nechcete dopočítávat ty koeficienty, ale členů je málo, můžete napsat třeba "An^2 + Bn^3 + C n^4", kde vysvětlíte velice rychle, co je A, B, C. Pokud těch členů je více, můžete a) použít sumu, b) použít "o", c) vypsat pár členů na začátku, ale i pár členů na konci. Aby bylo jasné, co je mezi tím. Vždycky ale "odflakujte" tyhle věci jen když to nemá vliv na tu limitu.

4) Úplně právě nevidím, jak jsi to nahradil. Přijde mi to jako

$\lim_{x \to \infty}\frac{x + \frac{1}{x^2}}{\dots} = \lim_{x \to \infty}\frac{x + 0}{\dots}$ ,

což formálně není správně.

Podle mě tam VOLSF ani není potřeba. Stačí ten logaritmus ze jmenovatele dát do té limity vpravo, vytknout $x$ , pokrátit a zbyde

$\log 4 + \frac{\log (1 + a^x + b^x + c^x)}{x}$ , kde a, b, c < 1... a to když pošleš do nekonečna, tak máš logaritmus čtyř.

---

Stejnou chybu děláš u VOLSF #2, máš tam

$\frac{2 \log x + \log (1+ 1/x^2)}{\log x}$

a v klidu tam nahrazuješ ten log (1+1/x^2), což prostě nejde, nikdy jste takovou operaci v matematice I nebrali (protože ani nejde).

---

Tohle nahrazování VOLSF přes VOAL je stěžejní věc v limitách funkcí, takže doporučuju pořádně nastudovat.

Pokud něco šeredně přehlížím, tak se omlouvám za buzeraci.

---

Mrkni kdyžtak na moji testovací písemku, kde je VOAL a VOLSF požehnaně. Uvidíš, kolik se na tom dá ztratit bodů :-)

Matematické Fórum

#1 25. 12. 2011 11:41

Limita funkce

#2 25. 12. 2011 11:55 — Editoval halogan (25. 12. 2011 12:03)

Re: Limita funkce

#3 25. 12. 2011 12:11 — Editoval JohnNash (25. 12. 2011 12:15)

Re: Limita funkce

#4 25. 12. 2011 12:34 — Editoval halogan (25. 12. 2011 12:40)

Re: Limita funkce

Zápatí