Matematické Fórum

↑ rikimara:
Ahoj,

to je zaujimava otazka ...a ked ju uplne pochopis urobis velky krok do predu

Vseobecba odpoved je nie (ale su specialne pripady ze je to ano) [pisem o vsebecnych vektoroch x, y, u, v, w]



Cize na overenie treba studovat podla definicie, ci vektory su LN alebo LZ.



V kontexte co si napisal (vektory u, v, w LN ...Jsou vektory u, v a w. Jejich lineární kombinací vytvoříme vektory x
a y:
x = u + v - w
y = u - v + w)
******************


ax+by =(a+b)u + (a-b) v +(-a+b)w=0
ti da
a+b=0
a-b= 0
-a+b=0


Cize a=b = 0   a tak   X, y su LN




Staci?

↑ rikimara:
U abstraktních úloh je vhodné vycházet pouze z definic a dokázaných vět.  Intuice, která občas pomůže u  praktických úloh,
zde často selhává a pak vede k chybným výsledkům .

Definici lineártní závislosti a nezávislosti jsem nedavno připomínal zde (příspšvek #9) .

Mějme vektory u, v, w    a dále

(0)         x = u + v - w ,         y = u - v + w

Sestavme rovnici 

(1)                               ax + by  = 0   (neznámé jsou a, b) 

a hledejme její  netriviální řešení. Dosadíme-li do ní za x , y podle (0) a algebraicky upravíme, dostaneme

(2)                      (a + b)u   +  (a - b)v + (b - a)w  = 0 .

I.  Jsou-li  u, v, w  LN, potom podle (2) a definice LN  musí být  a + b = 0  &  a - b = 0 ,  odtud snadno  a = b = 0. 
Ukázali jsme, že v tomto případě rovnice (1) má pouze triviální řešení,  takže x, y jsou LN .

II.  Obráceně to neplatí:  Vezmeme-li  LN vektory  u,  v , pak budou LN  i vektory  x =  u + v ,  y = u - v
(důkaz obdobný jako v bodě I) . Položíme-li w = 0 ,  pak vektory u, v, w  budou LZ ,  ale na lineární nezávislosti  vektorů 

                    x =  u + v = u + v - 0 =  u + v - w,      y = u - v = u - v + 0 =  u - v + w

se tím nemůže nic změnit.

↑ kritik:

Zdravím, založ si, prosím, vlastní téma. Děkuji.