Matematické Fórum

Foxnec · 26. 12. 2011 19:52 — Editoval Foxnec (26. 12. 2011 19:54)

Dobrý večer, řeším tento příklad:
$x' = \frac{1-x^{2}}{2tx}$

Jsem si vcelku jistý, že implicitní rovnice nestacionárního řešení je
$-\ln (1-x^{2}) = \ln (t) + C$
Nedaří se mi ale převést ji na rovnici explicitní, jako další krok dělám (pravou stranu upravuji jako ln(t) - ln(c) )
$\ln \frac{1}{1-x^{2}} = \ln \frac{t}{c}$
tedy
$|\frac{1}{1-x^{2}}|=|\frac{t}{c}|$
Pokud zanedbám abs.hodnotu, dostanu se až k
$x(t) = \sqrt{1-\frac{c}{t}}$
což je v souladu s klíčem ve skriptech. Skripta ale uvádějí ještě druhou část:
$x(t) = -\sqrt{1-\frac{c}{t}}$
plus podmínku
$t\in (-\infty , 0), (c, \infty )$

Moc jsem nepobral, jak se autor dostal k té druhé části explicitního řešení, a jak určil podmínku. Asi jde o tu absolutní hodnotu, ale nedaří se mi vymyslet, jak to udělat. Zkoušel jsem to experimentálně, ale vždy mi ta druhá část vyšla $x(t) = \sqrt{1+\frac{c}{t}}$ . A s podmínkou jsem v tomto případě ztracen úplně.

Děkuji :)

chuckier

↑ Foxnec:
Řekl bych, že když odmocnuješ rovnici, tak musíš uvažovat obě znaménka. A podmínka je určena odmocninou a t!=0 ze zadání i ze zlomku pod odmocninou.

Foxnec · 26. 12. 2011 20:25 — Editoval Foxnec (26. 12. 2011 20:26)

S podmínkou máte pravdu, pokud zahrneme tu částí řešení, ke které jsem se právě nedostal... Tak by mě to pak snad také napadlo :) Jinak s tou absolutní hodnotou, vím že to tak má být, pokud mám v abs. hodnotě jednu stranu, jednu proměnnou, ale zde tedy nemám tušení, jak to udělat.

První část udělám takto: $\frac{1}{1-x^2} = \frac{t}{c}$ , ale pokud druhou část zkusím takto: $\frac{1}{x^2-1} = \frac{t}{c}$ , tak mě to nikam nedovede, resp dovede mě to k tomu špatnému řešení, viz první příspěvek.. a nic jiného mě nenapadá :-(

chuckier · 26. 12. 2011 20:56

↑ Foxnec:
Tedy nejsem žádnej odborník, dif. rovnice jsem měl až tento semestr, ale s tou abs. hodnotou jsme to dělali na cvičeních tak, že jsme prostě určili nějakou další konstantu třeba k=|c| a víc jsme se o to nestarali. Prostě upravuj až do toho odmocnění, kde dáš jen $\pm$ .

Matematické Fórum

#1 26. 12. 2011 19:52 — Editoval Foxnec (26. 12. 2011 19:54)

Diferenciální rovnice - separace proměnných, převod do expl. tvaru

#2 26. 12. 2011 20:13 — Editoval chuckier (26. 12. 2011 20:16)

Re: Diferenciální rovnice - separace proměnných, převod do expl. tvaru

#3 26. 12. 2011 20:25 — Editoval Foxnec (26. 12. 2011 20:26)

Re: Diferenciální rovnice - separace proměnných, převod do expl. tvaru

#4 26. 12. 2011 20:56

Re: Diferenciální rovnice - separace proměnných, převod do expl. tvaru

Zápatí