Matematické Fórum

Zdravím,

"prostřední část" integrálu (dle nástrojů úvodního tématu sekce VŠ) nevypadá moc nadějně - nemá se počítat pomocí numerických metod? Nebo překlep v zadání - odkud je úloha? Děkuji.

Děkuji,

těch 10000 pokusů mi velmi naznačuje, že se to má počítat numericky, s iteračním krokem spojeným se zadaným počtem pokusů. Může být?

↑ amadeus1337:

Pravděpodobně se očekává použití zmiňované metody ve smyslu, jak je uvedeno v odkazu (cca od 31. str.). Ať se podaří.

↑ amadeus1337:

Není za co.

Zintegrovat všechno, až na prostřední problémový součin "ln*sin", umíš. Problémová část se může počítat pouze numericky - podle mne odkazovanou metodou nejde počítat ručně (na tak velkém počtu pokusů), ale jen strojově - co na to kolegové? Děkuji.

Pokud vám řekli jen "zintegrovat", tak můžeš zvolit libovolnou numerickou metodu integrování, kterou umíš. Bohužel vidím jen kousek zadání, neznám vaše materiály a co jste probírali, tak pochybuji, že budu nějak užitečná.

↑ jarrro:

Zdravím, Jaro, děkuji.

Tuto metodu jsem nikdy prakticky nepoužila (umím pouze klasiku numerického integrování :-). Ale těch 10000 pokusů (jak uvádí ↑ amadeus1337:), snad nebudu generovat ručně? Zatím mi to celé téma přijde, že zjišťujeme, co vůbec chce budoucí systémový inženýr. Tak už jsme to nějak naznačili, už bych to přenechala povolanějším. Děkuji.

amadeus1337 napsal(a):

Podle toho co píše jarrro, si taky myslim, ze ho nebudu pocitat, ale jen odhadovat.

Děkuji, přednášku jsem přečetla, jak se ručně generuje 10000 náhodných čísel - nevím (tedy nevím, jakou techniku použiji pro "odhad"). Úlohu analyticky spočítat nejde - to už jsme konstatovali.

Jediné, co užitečného mohu udělat, změnit (upřesnit) název tématu. Zdar přeji.

tak tenhle kalkulator mi vyrazne pomohl: http://www.zweigmedia.com/RealWorld/int … egral.html ty hodnoty z nej vychazely zhruba s odchylkou od nuly do dvou. Mne ho vypocital jako hodnotu 214,14.. Jsem rád, že jsem se dobral výsledku ale víc by mě zajímalo, jak to udelat rucne..

Ze skript, o kterých tu Jelena psala je vidět, že metoda Monte Carlo nám řekne následující věc:

Pokud máme v ploše nějakou významnou oblast, o které jsme schopni říci, kdy se nacházíme uvnitř a kdy venku, tak můžeme Monte Carlo metodou spočítat obsah této oblasti.

Tak tedy převedeme numerický výpočet integrálu na naši metodu Monte Carlo. Nejdřív si zvolíme oblast, kde b budueme metodu používat.  Typicky se volí obdélník. Mi si zvolíme obdélník o stranách 2 a 10. První hodnotu volíme podle šířky definičního oboru a druhou hodnotu podle intervalu, kde se nám tu pohybují obory hodnoty funkce. Je to někde mezi 100 a 110, proto délka 10 (toto je potřeba zkrátka odhadnout, musíme si být jistí, že nám funkce do našho obdélníku "vejde").

Dále necháme proběnout výpočet. Vygenerujeme dvě náhodná čísla, označíme třeba "a" a "b". První generejume náhodně z intervalu 8..10 a druhé generujeme z intervalu 100..110. Tím vlastně náhodě zvolíme pozici v obdélníku, o kterém jsem mluvil v předešlém odstavci.

Integrál de facto odpovídá obsahu plochy pod křivkou. A mi právě metodou Monte Carlo si necháváme spočítat, jaký je obsah plochy pod funkcí uvnitř námi zvoleného obdélníku. Musíme zjistit, zda náhodně vygenerovaný bod (a,b) padl do oblasti pod křivku, či ne. To ověříme podmínkou

105 + ln(3*a)*sin(3*a) < b

Pokud je tato nerovnost pro náš náhodně zvolený bod pravda, tak si někde bokem "uděláme čárku" a pokud ne, neprovedeme nic. Postup zopakujeme 10 000 krát. Podle toho, kolik jsme si udělali čárek zjistíme, kolik procent z našeho obdélníku odpovídá oblasti pod funkcí, tedy hodnotě našeho integrálu. Pokud by se nám stalo, že 4500 takto náhodně vygenerovaných bodů nám splní výše uvedenou podmínku, pak to znamená, že jsme naší numerickou metodou odhadli obsah pod funkcí na hodnotu

4500 / 10000 * obsah obdélníku = 0.45 * 2 * 10 = 9

To byl jen příklad, kolik by to třeba mohlo vyjít. Nyní to musíme dát ještě nějak do kupy. Naše metoda nám řekla, jaký je obsah pod funkcí pouze v obdélníku 8..10 a 100..110. Hodnota integrálu však odpovídá obsahu pod funkcí až k nule. Tedy je potřeba přičíst ještě hodnotu 2*100 = 200.

Malá diskuse k tomu, jaký obdélník (intervaly pro náhodná čísla a,b) volit. Je dobré vilit co nejmenší obdélník, do kterého se vleze naše funkce. A zároveň je dobré volit obdélník takovým způsobem, aby velmi přibližně platilo, že nám cca polovina bude vyhovovat podmínce (stačí od oka). Čím více dodržíme tato pravidla, tím nám metoda oznámí výsledek přesněji.

Takže návrh svého postupu napíšu ještě stručněji, do návrhu algorytmu

1) Hodnotu C nastavím na 0
2) Náhodně vygeneruji číslo A z intervalu 8..10
3) Náhodně vygeneruji číslo B z intervalu 100..110
4) Pokud 105 + ln(3*A)*sin(3*A) < B, tak k číslu C přičtu 1, jinak nepřičítám nic
5) Vracím se ke kroku 2 tak dlouho, dokud si kroky 2-4 nezopakuju 10000 krát
6) Výsledná hodnota integrálu je pak rovna 2*10*C/10000 + 200

Pochopitelně se jedná o numerickou metodu, tekže nebude zcela přesná. Mělo by yvelmi přibližně platit, že při tomto počtu pokusů bude mít metoda přesnost kolem 1 procenta ( je to přibližně 1/sqrt(n) )


Pozn. po editaci: Vlastně je to podobné tomu co píše Jelena, jen se neshodujeme ve voleném obdélníku. Dovolil jsem si navrhnout ten interval jinak. Pokud by se čísla generovala z intervalu 0..109 tak vše, co padne do intervalu 0..100 nám vlastně nepřinese žádnou informaci. Tam my víme, že je oblast pod funkcí. Efektivně nám tak do zjištění obsahu pod funkcí v případě Jeleny přispěje jen asi necelých 1000 bodů. Je lepší volit oblast jak jsem již psal, co nejvíce "těsně"

Tímto Jelenu mimochodem zdravím a přeji hezké svátky :-)