Matematické Fórum

Mirgeee · 27. 12. 2011 15:27

Ahoj,
úkolem je v Peanově aritmetice dokázat formuli:
$(\forall x,y,z)[(z\not=0 \wedge x\cdot z\le y\cdot z) \Rightarrow x\le y]$
Pro důkaz sporem se předpokládá
$z\not=0 \wedge x\cdot z\le y\cdot z \wedge ¬x\le y$
Poslední konjunkt by měl zaručovat $y \le x$ , tedy existenci u takového, že u + y = x. Užívajíce axiomů Robinsonovy aritmetiky (a některých formulí z ní odvozených, jako třeba distributivity násobění) dostáváme, že u = 0 a z x = y (a z faktu dokazatelného v PA, že každé x je menší rovno samo sobě) získáváme spor.
Tento postup podle mě zvláštní, protože nejprve užíváme negace tvrzení x je menší nebo rovno y jako formule y je menší nebo rovno x pro výstavbu vzorce u + y = x za použití axiomu pro "ostře menší" (jak se nám to hodí do noty) a pak jako "správnou" negaci tohoto tvrzení, tedy že y < x (aby se x nemohlo rovnat y).
Může mi to prosím někdo objasnit? Díky moc :)

Wotton · 27. 12. 2011 18:12

No teda tos to hodně přeskákal.

Z toho důkazu si fakt vytáh jen pár věcí (ale to podstatné zrovna chybí). Nicméně pokud jsem to dobře pochopil, tak ty nemáš problém s důkazem jako takovým, ale jen s určitou částí.

Každopádně není problém použít slabší tvrzení ( $y \le x$ ), protože jak si sám napsal jeho pravdivost je zaručena. I když to není taky úplně pravda, protože například v Robinsonově aritmetice by to neplynulo (je potřeba dokázat, že relace $\le$ případně $<$ je lineární uspořádání (každé dva různé prvky jsou poměřitelné)).

Víc ti k tomu asi nemůžu říct, protože z tvého dotazu toho víc nepochopím.

... a myslím že by to patřilo do sekce Vysoká škola;)

Mirgeee · 27. 12. 2011 21:03

↑ Wotton:
Ano, nechtělo se mi ten důkaz psát celý, když mám problém pouze s jeho částí, jak jsi uhodl :)
Jinak pracuje se s Peanovou aritmetikou rozšířenou o několik tvrzení (která jsou sice důležitá pro ten důkaz, ale ne pro můj dotaz), mezi nimiž je realce $\le$ jasně definována (a < už nikoliv).
Můj dotaz znova, snad trochu jasněji: kde je ten spor?
Mělo by ho dávat $¬x\le y$ a $(\forall x)(x\le x)$

Wotton · 29. 12. 2011 19:52

↑ Mirgeee:

Stejně bohužel nechápu otázku. Je mi líto...

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2011 15:27

Důkaz formule predikátového počtu

#2 27. 12. 2011 18:12

Re: Důkaz formule predikátového počtu

#3 27. 12. 2011 21:03

Re: Důkaz formule predikátového počtu

#4 29. 12. 2011 19:52

Re: Důkaz formule predikátového počtu

Zápatí