Matematické Fórum

pizet · 27. 12. 2011 21:34

Ahojte, bol by som rád, ak by ste mi dali hint ako spoćítať nasledujúce:

a) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1 + mx)^n - (1 + nx)^m}{x^2};\ m,\ n\in\mathbb{N}$

b) $\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{(x + a)(x + b)} - x;\ a,\ b\in\mathbb{R}$

Ďakujem.

pizet · 27. 12. 2011 21:48

↑ jrn:

To nemôžeš spraviť... Vyjde ti nedefinovaný výraz.

pizet · 27. 12. 2011 21:57 — Editoval pizet (27. 12. 2011 22:06)

Na b) som už prišiel:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{(x + a)(x + b)} - x =$
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(x + a)(x + b) - x^2}{\sqrt{(x + a)(x + b)} + x} =$
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x((a + b) + \frac{ab}{x})}{x(\sqrt{1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + \frac{ab}{x^2}} + 1)} = \frac{a + b}{2}$

EDIT: Oprava.

FailED · 27. 12. 2011 22:27

↑ pizet:
Ahoj,

a) binomická věta

pizet · 27. 12. 2011 23:21

↑ FailED:

Takže...

Podľa binomickej vety máme:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1 + mx)^n - (1 + nx)^m}{x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sum_{k=0}^n{n\choose k}(mx)^k - \sum_{l=0}^m{m\choose l}(nx)^l}{x^2} =$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1 + nmx + {n \choose 2}m^2x^2 + p(x) - 1 - mnx - {m \choose 2}n^2x^2 - q(x)}{x^2} =$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{n \choose 2}m^2x^2 - {m \choose 2}n^2x^2 + p(x) - q(x)}{x^2}$ .

Funkcie p(x) a q(x) sú nejaké polynómy stupňa aspoň 3 také, že koeficienty pri nultom, prvom a druhom člene sú nulové.

Môžme vyňať:

$\lim_{x\rightarrow 0}{n \choose 2}m^2 - {m \choose 2}n^2 + \frac{p(x)}{x^2} - \frac{q(x)}{x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}{n \choose 2}m^2 - {m \choose 2}n^2 + \lim_{x\rightarrow 0}\frac{p(x)}{x^2} - \lim_{x\rightarrow 0}\frac{q(x)}{x^2} =$
${n \choose 2}m^2 - {m \choose 2}n^2 + 0 - 0 = \frac{m^2n(n - 1) - mn^2(m - 1)}{2} = \frac{mn(n - m)}{2}$

Malo by to byť správne.

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2011 21:34

Limity funkcí

#2 27. 12. 2011 21:39 Příspěvek uživatele jrn byl skryt uživatelem jrn. Důvod: pravda pizet

#3 27. 12. 2011 21:43 Příspěvek uživatele pizet byl skryt uživatelem pizet. Důvod: Blbosť.

#4 27. 12. 2011 21:48

Re: Limity funkcí

#5 27. 12. 2011 21:57 — Editoval pizet (27. 12. 2011 22:06)

Re: Limity funkcí

#6 27. 12. 2011 22:27

Re: Limity funkcí

#7 27. 12. 2011 23:21

Re: Limity funkcí

Zápatí