Matematické Fórum

blazenx · 28. 12. 2011 00:56

Ahoj lidi, potřeboval bych pomoc s jednou funkci. Nevim jak vypočítat inverzní fuknci k funkci $y=x*\sqrt{4-x^2}$

Byl bych moc vděčný za pomoc.

Předem děkuji

zdenek1 · 28. 12. 2011 10:14

↑ blazenx:
a) funkce není prostá - musíš najít intervaly, kde prostá je.
jedna možnost $x\in \langle-\sqrt{2};\sqrt{2}\rangle$

druhá možnost $x\in \langle-2;-\sqrt{2}\rangle\cup \langle\sqrt{2};2\rangle$

b) Formálními úpravami
$f:y=x\cdot\sqrt{4-x^2}$
$f^{-1}:x=y\cdot\sqrt{4-y^2}$
$x^2=4y^2-y^4$
$y^4-4y^2+4=4-x^2$
$(y^2-2)^2=4-x^2$
$y=\pm\sqrt{2\pm\sqrt{4-x^2}}$

a teď musíš rozhodnout, co ke kterému intervalu patří

první možnost: $f^{-1}: x\in \langle-2;0\rangle\quad y=-\sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}\\ x\in \langle0;2\rangle\quad y=\sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}$
modrý a zelený graf

druhá možnost: $f^{-1}: x\in \langle-2;0\rangle\quad y=-\sqrt{2+\sqrt{4-x^2}}\\ x\in \langle0;2\rangle\quad y=\sqrt{2+\sqrt{4-x^2}}$
fialový a oraanžový graf

blazenx · 28. 12. 2011 10:52

Díky moc, na mě to stejně vypadá nějak moc složitě. Nějak se s tim poperu. Mohl by si mi pomoct ještě jak určit u tý inverzní funkce definiční obor? Já tam vidim tři argumenty, ale když to vypočítám, tak by mi to nesouhlasilo s grafem.

zdenek1 · 28. 12. 2011 11:23

↑ blazenx:
$y=\pm\sqrt{2\pm\sqrt{4-x^2}}$
Výraz $\sqrt{4-x^2}$ je definovaný pro $x\in\langle-2;2\rangle$ . V tomto intervalu nabývá hodnot od 0 do 2, takže $2\pm\sqrt{4-x^2}$ je vždy nezáporný. Nic jiného nepotřebuješ.

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2011 00:56

Inverzní fuknce - pomoc

#2 28. 12. 2011 10:14

Re: Inverzní fuknce - pomoc

#3 28. 12. 2011 10:52

Re: Inverzní fuknce - pomoc

#4 28. 12. 2011 11:23

Re: Inverzní fuknce - pomoc

Zápatí