Matematické Fórum

miso16211

Dobrý deň,

Nechápu jak mohol dostať z $f(x+1) = f(x) + 1 ,$ $\text{ toto : }$ $f(x) = x+1$

Poraďte prosím.

Sulfan · 28. 12. 2011 22:31 — Editoval Sulfan (28. 12. 2011 22:41)

↑ miso16211:Ahoj, dokazovali indukcí pro všechna přirozená čísla, že z podmínky (1) a a jejich výpočtu, že ten vztah splňuje funkce x+1. Tudíž třeba konkrétně si to můžeš rozepsat:

$f(0)=f(0\cdot 1)=2f(0)-f(1)+1=2f(0)-1$
tedy
$f(0)=1="0+1"$
zároveň
$f(1)=2="1+1"$ (z podmínky 1)

pro $f(2)=f(1)+1="2+1"$

$f(x)=x+1 \Rightarrow f(x+1)=x+1+1$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: mohu se zeptat, odkud tato úloha je?

miso16211 · 29. 12. 2011 07:31

$f(0)=f(0\cdot 1)=2f(0)-f(1)+1=2f(0)-1$ ä

jak z $f(0.1) = 2.f(0) - f(1) + 1$ ?

$f(0.1) = f(0).f(1) = 2.f(0)$ skadial je tam $-f(1) + 1$ ?

Nemalo by to skôr vyzerať takto :

$f(0.1) = f(0).f(1) = 2.f(0)$

potom zápis

$f(x+1) = f(x) + 1$ ak $x=0$

$f(0+1) = f(0) + 1$
$f(1)=f(0) + 1$
$-f(0) = -f(1) + 1 / : -1$
$f(0) = f(1) - 1$
$f(0) = 2-1$
$f(0) = 1$

Sulfan · 29. 12. 2011 11:10 — Editoval Sulfan (29. 12. 2011 11:10)

↑ miso16211: Trochu mě mate, že místo krát (dot) používáš desetinnou tečku. Nicméně došli jsme nakonec k tomu samému, nevidím v tom problém =).

Ale toto $f(0\cdot1) = f(0).f(1) = 2.f(0)$ se mi nezdá - dosazuješ do té podmínky (2) ?

miso16211

to takhle $f(0\cdot 1)=2f(0)-f(1)+1=2f(0)-1$

rozpíš prosím toto $f(0\cdot 1)$ tá tečka (bodka) v strede medzi 0 a 1 je krát?
Nechápu jak si dostal z toho $f(\text{niečo}\cdot \text{dačo}) = 2\cdot f(\text{niečo}) - f(\text{dačo}) + 1$

$f(0\cdot1) = f(0)\cdot f(1) = 2\cdot f(0)$ toto tu som rozpisal podla "akože" všeobecného vzorca

že $f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)$

- ja som to tak pochopil z tvojeho zadania

Sulfan · 29. 12. 2011 13:40

Toto $f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)$ rozhodně neplatí (nejsem si vědom, že bych to použil - možná to platí jen pro ten speciální případ [0;1] ? - Zkusím ho teď podrobně uvést:

Jinak ta tečka je krát. Dosazuji v původní podmínce v zadání x=0 a y=1. Úplně konkrétně:

Je jasné, že když chceme funkční hodnotu v 0, tak stačí 0 vynásobit jakýmkoliv číslem, třeba jedničkou, abychom do původní formule mohli dosazovat 2 čísla: $f(0)=f(0 \cdot 1)$

Ze zadání je podmínka (2): $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$
teď dosadím čísla 0,1:
$f(0\cdot 1)=f(1) \cdot f(0) -f(1+0)-f(1)+1$
a z toho plyne, pokud použijeme ze zadání podmínku (1) , že $f(1)=2$ :
$f(0\cdot 1)=2f(0) -2+1$
a ještě upravím:
$f(0)=2f(0) -1$

z této rovnice hned plyne, pokud dáme f(0) na jednu stranu:

$0=f(0)-1$

z čehož:

$f(0)=1$