Matematické Fórum

Marek FN · 29. 12. 2011 15:11

1 1 -3 0
1 a 0 0
0 1 a 0

Mám určit, pro která a má matice nekonečně řešení.

Úpravou matice dostanu

1 1 -3 0
0 a-1 -3 0
0 0 a^2-4 0

Řeknu si, že a^2-4, pak je poslední vektor nulový a matice má nek. mnoho řešení, tj. a=2, nebo -2.

Není to ale správně. Kde dělám chybu?

Marek

vanok · 29. 12. 2011 15:30 — Editoval vanok (29. 12. 2011 15:35)

↑ Marek FN:
Ahoj. Take slova ako AHOJ ... DAKUJEM ... PROSIM nepoznas?

Inac v tvojej uprave na matici uz na druhom riadku mas chybu znamienka.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tiez napisat matica ma nekonecne riesenie nema ziadny matematicky zmysel!
Asi si chcel napisat, system ktory reprezentuje tato matica na nekonecne vela rieseni? alebo co ine?

Marek FN · 29. 12. 2011 15:41

Ahoj.

Když jsem byl na jiném (technickém) fóru, psal jsem příspěvek právě tak uctivě, jak Ty požaduješ a byl jsem dosti nevybíravým způsobem upozorněn na to, že je to technické forum a proto tam patří technika a ne pozdravy a děkování. Proto jsem nyní psal pouze o matematice. Velmi se omlouvám za tento prohřešek.

Za radu díky.

Marek

vanok · 29. 12. 2011 16:31 — Editoval vanok (29. 12. 2011 16:40)

↑ Marek FN:

Technika bez ludi to su asi uz len roboty.

Zda sa mi ze vsade treba byt najprv clovek a az potom uradnik, inginier, profesor....

Tvoju maticu systemu by som skor takto upravil
( nezname systemu su $x_1; x_2;x_3$ )
1 1 -3 0
1 a 0 0
0 1 a 0

1 1 -3 0
0 a-1 3 0 R2-R1
0 1 a 0

Teraz prehodim druhy a treti riadok

1 1 -3 0
0 1 a 0
0 a-1 3 0 R3 - (a-1)R2

to da
1 1 -3 0
0 1 a 0
0 0 -a²+a+3 0

A az teraz sa da diskutovat o parametroch:
1) ak -a²+a+3 =0 ( cize a=.. ) mame nekonecne vela rieseni , $x_3$ moze byt akekolvek realne cislo.
$x_2=-a x_3$ .
$x_1=...$
2) ak...

POKRACUJ

Marek FN

pokud
$a_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$
pak má soustava nekon. mnoho řešení

a

$x_3\in R$

$x_{2}=-ax_{3}$

$x_{1}=ax_{3}+3x_{3}$

jestliže
$a_{1,2}\not =\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$
pak má soustava právě jedno řešení

Ještě bych se chtěl zeptat, jaký je důvod prohození řádků.

Zkoušel jsem to takto:

1 1 -3 0
1 a 0 0
0 1 a 0

1 1 -3 0
0 a-1 3 0
0 0 a^2-4 0

Ale asi chybně.

Díky, Marek

LukasM · 29. 12. 2011 19:59

↑ Marek FN:
To je lepší, ale správně to není. Ty kritické hodnoty parametru a jsou správně, pokud se a rovná jedné z těch dvou možností, tak ta soustava (ne matice) opravdu má nekonečně mnoho řešení, pokud je to jinak, opravdu to má jediné řešení.

$x_1$ ale není vyjádřeno správně, a také mi není jasné, ke kterému z těch dvou případů to teda patří. Zkus to napsat srozumitelněji.

Přehození řádků dělal vanok proto, aby neměl parametr na prvním nenulovém místě té matice - pokud by byla matice v tom tvém tvaru, bylo by potřeba řešit navíc ještě případ a=1, a dělat to zvlášť - v takovém případě bys totiž při těch svých úpravách násobil třetí řádek nulou, a to není ekvivalentní úprava. Vanok nic takového po přehození řádků dělat nemusí.
Jinak tvá úprava dobře ani není, protože sis při výpočtu patrně nepsal závorky tam, kde měly být. (Je to i stejný důvod , proč máš špatně vyjádřené to $x_1$ výše.)

Marek FN · 29. 12. 2011 20:37

pokud
$a_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$
pak má soustava nekon. mnoho řešení

a

$x_3\in R$

$x_{2}=-ax_{3}$

$x_{1}=ax_{3}+3x_{3}$

jestliže
$a_{1,2}\not =\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$
pak má soustava právě jedno řešení

LukasM · 29. 12. 2011 20:40

↑ Marek FN:
Ano, to už je dobré. A jaké je to jediné řešení?

vanok · 29. 12. 2011 20:45 — Editoval vanok (29. 12. 2011 21:09)

↑ Marek FN:,
Vysvetlenia tvojej chyby ti dokonale vysvetlil kolega↑ LukasM:.
Ca sa tyka vyjadrenia rieseni je treba byt kompletny... a metodicky.

1) ak $-a^2+a+3 =0$ ( cize $a_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$ ) mame nekonecne vela rieseni , $x_3$ moze byt akekolvek realne cislo....co je zvycajne vyjadrene takto
$x_3= t$ , t realny parameter
$x_2=-\frac{1+ \sqrt{13}}{2}t$
a
$x_1= -x_2 +3x_3=$\frac{1+ \sqrt{13}}{2} +3$t=$\frac{7+ \sqrt{13}}{2}$t$

alebo
$x_3= t$ , t lubovolny realny parameter
$x_2=-\frac{1- \sqrt{13}}{2}t$
a
$x_1= -x_2 +3x_3=$\frac{1- \sqrt{13}}{2} +3$t=$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$t$

2)Ak $-a^2+a+3 \ne 0$ (cize $a_{1,2}\ne \frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$ ),
vtedy mame jedine riesenie, ktore je
$x_3=0$
$x_2=0$
$x_1=0$

Poznamka: riesenia pisem v poradi $x_3; x_2; x_1$
lebo upravena matica systemu je v kompletne trojuholnikovej forme a preto sa zacina poslenou neznamou a sa postupne jej hohnota dosadzuje do predposlednej neznamej, ktora zavisi na poslednej ATD.

Marek FN · 29. 12. 2011 20:52

Myslím, že
$x_{1},x_{2},x_{3}=0$ , pak na parametru a nezáleží.

Marek FN · 29. 12. 2011 21:00

Za rady díky.

Ještě k tomu prohození řádků: mám matici, kde 2. i 3. řádek mají parametr na prvním místě. Mohu pokračovat zde, nebo je lepší založit nové téma, i když problematika je podobná?

vanok · 29. 12. 2011 21:10

↑ Marek FN:
nove cvicenie nova tema >>> inac je to velka panika potom ( a aj pravidla su take)

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2011 15:11

matice s parametrem

#2 29. 12. 2011 15:30 — Editoval vanok (29. 12. 2011 15:35)

Re: matice s parametrem

#3 29. 12. 2011 15:41

Re: matice s parametrem

#4 29. 12. 2011 16:31 — Editoval vanok (29. 12. 2011 16:40)

Re: matice s parametrem

#5 29. 12. 2011 19:05 — Editoval Marek FN (29. 12. 2011 20:34)

Re: matice s parametrem

#6 29. 12. 2011 19:59

Re: matice s parametrem

#7 29. 12. 2011 20:37

Re: matice s parametrem

#8 29. 12. 2011 20:40

Re: matice s parametrem

#9 29. 12. 2011 20:45 — Editoval vanok (29. 12. 2011 21:09)

Re: matice s parametrem

#10 29. 12. 2011 20:52

Re: matice s parametrem

#11 29. 12. 2011 21:00

Re: matice s parametrem

#12 29. 12. 2011 21:10

Re: matice s parametrem

Zápatí