Matematické Fórum

petr_v · 29. 12. 2011 23:34

Ahoj, potřebuji pomoc s příkladem. Mé zadání je:

$z^{20}$ bych počítal pomocí Moivreovy věty $z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi + i\sin n\varphi )$

Upravil jsem si rovnici do tohoto tvaru $\frac{1-\sqrt{3}}{4}-(\frac{1+\sqrt{3}}{4})i$

Absolutní hodnota z mi vyšla $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ale nevím jak mám vypočítat ten argument $\varphi$

teolog · 29. 12. 2011 23:53

↑ petr_v:
Zdravím,
argument fí spočítejte podle vztahů $http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/8/d/e/8de4f879825a99220e078248661767c6.png$ a $http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/8/e/7/8e7c079fb80cecd73527ba2c31df2876.png$

To platí pro komplexní číslo, které má algebraický tvar z=a+bi.

vanok · 29. 12. 2011 23:55

Ahoj ↑ petr_v:,
Mal by si to lahsie ak by si urcil ako prve goniometricku formu
z $1-i$ a z $1+ i \sqrt3$
A potom pouzil vetu o deleni v tejto forme.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

petr_v · 30. 12. 2011 00:23

↑ teolog:

Po dosazení vychází

$\cos \varphi = \frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\sin \varphi = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Ale co s tím? Do tabulky s hodnotami goniometrický funkcí mi to nějak nepasuje :/

teolog · 30. 12. 2011 00:57

↑ petr_v:
Pomocí kalkulačky a jednotkové kružnice jsem spočítal fí = 105°. Žádná pěkná tabulková hodnota to není, ale po vynásobení dvaceti to pak dá celkem slušný výsledek.

Pokud nemůžete používat kalkulačky, tak zkuste způsob navržený vanokem, bude to asi i jednodušší.

petr_v · 02. 01. 2012 20:31

↑ teolog:
kalkulačky můžeme používat, jen pořád nechápu jak se to vyčísluje ten argument. Když mi vyjde hodnota z tabulky, tak není problém a jednoduše si ji přiřadím, ale když vyjde to mi vyšlo o předchozí příspěvek, tak netuším jak by jsem měl dojít k těm fí = 105°.

teolog · 02. 01. 2012 20:35

↑ petr_v:
Pokud známe hodnotu cosinu (nebo sinu) a chceme znát úhel, musíme použít inverzní funkci, tedy arcuskosinus (resp. arcussinus). Na kalkulačce je to druhá funkce cos (sin), měly by tam být cos^-1 (sin^-1).
Takže spočítáte hodnotu cosinu $\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ a dáte cos^-1 a vyjde Vám 105°. Problém je v tom, že toto není jediné řešení, další je potřeba najít pomocí jednotkové kružnice.
A díky výpočtu sinu odhalíte to správné a jediné řešení.

petr_v · 02. 01. 2012 20:50

To bych i chapal :) ale kdyz fi pro cosinus vyjde 105 a pro sinus 75 tak jak poznam ktera z tech dvou hodnot je ta co potrebuji?

Pomuze mi nejak kdyz to prevedu na radiany?

teolog · 02. 01. 2012 20:54 — Editoval teolog (02. 01. 2012 20:54)

↑ petr_v:
To je právě ono, kalkulačka dá jen jedno řešení, ale na intervalu 0,2pí jsou dvě. A v tomto příkladě u sinu dá kalkulačka řešení 75°, ale to druhé (které musíte najít pomocí jednotkové kružnice) je oněch 105°.

Řešením je hodnota stejná a kosinu i u sinu.

petr_v · 02. 01. 2012 21:49

A tak tedy když budu počítat s tím že fí je 105° tak se doberu k výsledku

$w = z^{20}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{20}*(\cos (20*\frac{7\pi }{12})+i*\sin (20*\frac{7\pi }{12}))$

Takhle to mám nechat? nebo se to převádí zpátky do algebraického tvaru?

teolog · 02. 01. 2012 21:51

↑ petr_v:
To převeďte do algebraického tvaru. Ten kosinus i sinus nakonec vyjdou celkem hezky ;)

petr_v · 02. 01. 2012 22:05 — Editoval petr_v (02. 01. 2012 22:08)

tak pokud počítám dobře výsledek je

$\frac{1}{2048}+\frac{\sqrt{3}}{2048}i$

teolog · 02. 01. 2012 22:08

↑ petr_v:
Ano, to je dobře.

zdenek1 · 02. 01. 2012 22:13

↑ teolog:
jde to i bez kalkulačky
$\sin \varphi = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt2}2\cdot\left(\frac12+\frac{\sqrt3}2\right)=$
$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 45^\circ \cos 60^\circ +\cos 45^\circ \sin 60^\circ =\sin (45^\circ +60^\circ )$

teolog · 02. 01. 2012 22:16

↑ zdenek1:
Pěkné hrátky :)

petr_v · 02. 01. 2012 23:16

A ten příklad pokračuje :)

z výsledku mám udělat čtvrtou odmocninu

$\sqrt[4]{w}$

Takže pracuji podle vzorce:

fí vyšlo pro sinus i cosinu 60° což je $\frac{\pi }{3}$ a $|z|=\frac{1}{1024}$

Potom musím spočítat odmocninu pro každé k=0,1..n-1

$z_{0}=\sqrt[4]{\frac{1}{1024}}*(\cos (\frac{\frac{\pi }{3}}{4})+i*\sin (\frac{\frac{\pi }{3}}{4}))= \frac{\sqrt{2}}{8}*(\cos (\frac{\pi}{12})+\sin (\frac{\pi }{12}))$

Tohle ještě udělám pro Z1, Z2, Z3. Zajimá mě jestli mám správny postup a jestli to mám zase vyčislovat až do algebraického tvaru.

Opět děkuji za pomoc :)

teolog · 03. 01. 2012 10:17

↑ petr_v:
Postup máte v zásadě dobře, akorát jste se včera dopustil chyby, kterou jsem přehlédl.
Při výpočtu z^20 je v goniometrickém tvaru sin(20*105°), což je -sqrt(3) /2, takže při přeodu na algenraický tvar tam musí být mínus. Tedy $w=z^{20}=\frac{1}{2048}-\frac{\sqrt{3}}{2048}i$ .

petr_v · 03. 01. 2012 10:54

Moje chyba, ani nevím proč jsem to přepsal na plus. Opraveno, teď jen jestli pořád sedí argument $\frac{\pi }{3}$ ?

$\cos \varphi =\frac{\frac{1}{2048}}{\frac{1}{1024}}=\frac{1}{2}=60°=\frac{\pi }{3}$

$\sin\varphi =\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2048}}{\frac{1}{1024}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-60°=-\frac{\pi }{3}$

takže tipuji že argument bude $\frac{\pi }{3}$ je to tak?

teolog · 03. 01. 2012 10:59

↑ petr_v:
Ten argument právě pí/3 nebude, u toho sinu to nevychází.
Rovnice cos fí = 1/2 má totiž dvě řešení, 60°a ještě jedno, to je klíč.

Cheop · 03. 01. 2012 11:13

↑ petr_v:
Ve kterém kvadrantu je kosinus kladný a zároveň sinus záporný?

petr_v · 03. 01. 2012 11:40

↑ Cheop:

ve 4 tuším :)

↑ teolog:

$\cos \varphi = \frac{1}{2}=\mp 60°$

takže celkové řešení bude $300°=\frac{5\pi }{3}$ ? to by odpovídalo i tomu že to je ve 4 kvadrantu.

teolog · 03. 01. 2012 11:44 — Editoval teolog (03. 01. 2012 11:44)

↑ petr_v:
Ano, je to 300°. Takže teď stačí dosadit do výše uvedeného vzorce pro komplexní odmocninu.

petr_v · 03. 01. 2012 12:12

Fakt vám všem děkuji. Za tu námahu vám rád přispěji SMSkou :)

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2011 23:34

Komplexni čísla - výpočet argumentu

#2 29. 12. 2011 23:53

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#3 29. 12. 2011 23:55

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#4 30. 12. 2011 00:23

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#5 30. 12. 2011 00:57

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#6 02. 01. 2012 20:31

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#7 02. 01. 2012 20:35

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#8 02. 01. 2012 20:50

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#9 02. 01. 2012 20:54 — Editoval teolog (02. 01. 2012 20:54)

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#10 02. 01. 2012 21:49

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#11 02. 01. 2012 21:51

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#12 02. 01. 2012 22:05 — Editoval petr_v (02. 01. 2012 22:08)

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#13 02. 01. 2012 22:08

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#14 02. 01. 2012 22:13

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#15 02. 01. 2012 22:16

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#16 02. 01. 2012 23:16

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#17 03. 01. 2012 10:17

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#18 03. 01. 2012 10:54

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#19 03. 01. 2012 10:59

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#20 03. 01. 2012 11:13

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#21 03. 01. 2012 11:40

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#22 03. 01. 2012 11:44 — Editoval teolog (03. 01. 2012 11:44)

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

#23 03. 01. 2012 12:12

Re: Komplexni čísla - výpočet argumentu

Zápatí