Matematické Fórum

Crusad · 31. 12. 2011 14:02

Dobré odpoledne, prosím o kontrolu 2 limit.
1)
$\lim_{n\to-1}\frac{x+3}{x+1}\cdot arctg(x)$
Dosadím, zjístím že to je $\frac{-\frac{\pi}{2}}{0}$
oboustranná liimta neexistuje a budu vyšetřovat jednostranné limity.
$\lim_{n\to-1^{+}}\frac{x+3}{x+1}\cdot arctg(x)=\frac{2\cdot \frac{-\pi}{4}}{0^{+}}=-\infty$
$\lim_{n\to-1^{-}}\frac{x+3}{x+1}\cdot arctg(x)=\frac{2\cdot \frac{-\pi}{4}}{0^{-}}=\infty$
Výsledek by měl být správně(podle Wolframu), jde mi spíš o to, jestli je to jedostatečně odůvodněné, když to takhle napíšu do písemky.
2)
$\lim_{n\to\infty}(3^{sin(n\pi)}-1)\cdot ln(n^{2}+2)$
Takže je to typ $0\cdot \infty$ a normálně bych se ho snažil převést na $\frac{\infty}{\infty}$ nebo $\frac{0}{0}$ a pak l'Hopitalem, ale tady jsou ty derivace nějaké podivné a spíš se mi zdá, že to zhoršují.
Wolfram moc nepomohl, nejspíš proto, že nevím jak mu zadat že to je limita posloupnosti.
Díky za pomoc.

Andrejka3 · 31. 12. 2011 14:09

Dosadím, zjístím že to je $\frac{-\frac{\pi}{2}}{0}$
oboustranná liimta neexistuje a budu vyšetřovat jednostranné limity.

To je irelevantní. bod x = -1 nikde nevystupuje.
Jednostranné limity jsou správně. To, že si nejsou rovny implikuje neexistenci oboustranné limity.

Ad 2)
Zkoumej zvlášť n sudé a n liché nebo tak nějak to zkus rozdělit. Využij pak to, co víš o podposloupnostech a jejích limitách.

Marbulinek · 31. 12. 2011 14:20

1) Môžeš vychádzať z definície limity, teda limita existuje len vtedy, ak existujú jej jednostranné limity a sú rovnaké..
2) Limitu typu $0*\infty$ skús previesť na tvar $\lim_{n\to \infty }f(x)g(x) = \lim_{n\to \infty }\frac{g'(x)}{[\frac{1}{f(x)}]'}$ a upraviť ;)

Andrejka3 · 31. 12. 2011 14:31

↑ Marbulinek:
Co bude mít z úpravy, kterou navrhuješ?

Crusad · 31. 12. 2011 14:42 — Editoval Crusad (31. 12. 2011 14:44)

Já jsem to na toho l'Hospitala zkoušel, ale vyjde mi pak buď v čitateli nebo jmenovateli $cos(n\pi)$ a to se mi nezdá jako zjednodušení situace.
Po derivaci mám $\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n^2+2}}{\frac{1}{\pi\cdot ln3\cdot (-3^{-sin(n\pi)})\cdot cos(n\pi)}}$
a z toho udělám něco jako $\frac{0}{\pi\cdot ln3\cdot cos(n\pi)}$ a co s tím dál - respektive je to tedy 0?

Andrejka3 · 31. 12. 2011 14:45

Radila jsem Ti. Není dobré na vše cpát l'H. Pokud zkusíš, to co jsem psala výše, je to jednoduché.

Andrejka3 · 31. 12. 2011 14:49

Omlouvám se,
$\sin (n \pi) = 0 \; \forall n \in \mathbb{N}$ ?
Pak je ale prvni clen = 0.
Puvodne jsem mela za to, ze prvni clen je
$\sin (n \pi /2)$ .
Ahoj.
A

Crusad · 31. 12. 2011 15:00

Právěže se mi zdá, že je jedno, jestli jsou n sudé nebo liché. $sin(n\pi)=0$ podle mě vždycky, takže rozdělovat na sudé a liché n nemá smysl.

Andrejka3 · 31. 12. 2011 16:50

↑ Crusad:
Tím spíš není co řešit, zkoumáš limitu konstantní posloupnosti.

Crusad · 31. 12. 2011 17:11

Aha, ok. Děkuji, ještě si k tomu najdu nějakou teorii, limity posloupností jsme moc neřešili ani ve škole.

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2011 14:02

Limity

#2 31. 12. 2011 14:09

Re: Limity

#3 31. 12. 2011 14:20

Re: Limity

#4 31. 12. 2011 14:31

Re: Limity

#5 31. 12. 2011 14:42 — Editoval Crusad (31. 12. 2011 14:44)

Re: Limity

#6 31. 12. 2011 14:45

Re: Limity

#7 31. 12. 2011 14:49

Re: Limity

#8 31. 12. 2011 15:00

Re: Limity

#9 31. 12. 2011 16:50

Re: Limity

#10 31. 12. 2011 17:11

Re: Limity

Zápatí