Matematické Fórum

elypsa · 31. 12. 2011 16:41

V konvexním mnohoúhelníku A1,A2,....A2010.. sestrojíme všechny úhlopříčky, které spojují vrcholy se sudými indexy, a všechny úhlopříčky, které spojují vrcholy s lichými indexy. Počet všech těchto úhlopříček je:
A : 1004 * 1005
B : 502*1005
C: 502* 1004
D: 502 * 2009
E: 1005*2010

___________

Vím, že počet úhlopříček v n-úhelníku vypočtu
$\frac{1}{2}\cdot n\cdot(n-3)$

ovšem někde špatně uvažuji a nebo mě to sudé liché natolik zmátlo, že prostě nevím.
Dále proběhlo ještě pár marných pokusů.. No poprosil bych o menší popostrčení. Mělo by to jít počítat bez kalkulačky.

Děkuji a přeji mnoho úspěchů a štěstí do nového roku.

zdenek1 · 01. 01. 2012 17:06

↑ elypsa:
ROzděl si to na dvě části:
Nejdřív si vem jen sudé vrcholy - těch je $\frac n2$ a tvoří ti $\frac n2$ -úhelník, který bude mít podle tvého vzorce
$\frac12\frac n2\left(\frac n2-3\right)$ úhlopříček
jenomže jsou tam ještě přímky na obvodě tohoto $\frac n2$ -úhelníka a ty také tvoří úhlopříčky původního n-úhelníka a je jich $\frac n2$ (zkus si namalovat 8-úhelník, tam je to názorně vidět jak to funguje)
Takže celkový počet úhlopříček spojujících sudé vrcholy bude
$\frac{n}{2}\cdot \frac{n-6}{4}+\frac{n}{2}=\frac{n}{2}\cdot \frac{n-2}{4}$

Nyní uděláš úplně stejnou úvahu pro liché vrcholy - a dostaneš úplně stejný výsledek
$\frac{n}{2}\cdot \frac{n-2}{4}$

a pak to sečteš
$\frac{n}{2}\cdot \frac{n-2}{4}+\frac{n}{2}\cdot \frac{n-2}{4}=\frac{n}{2}\cdot \frac{n-2}{2}$

elypsa · 01. 01. 2012 18:48

Vau :) díky moc

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2011 16:41

Úhlopříčky v n-úhelníku

#2 01. 01. 2012 17:06

Re: Úhlopříčky v n-úhelníku

#3 01. 01. 2012 18:48

Re: Úhlopříčky v n-úhelníku

Zápatí