Matematické Fórum

darkmagic · 30. 12. 2011 17:01

Zdravím, mám následující příklad: $x' = 2tx - \mathrm{e}^{t^2}$
Nejprve řeším přidruženou homogenní dif. rovnici: $x' = 2tx$
$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2tx$
$ln(x)=t^2+c$
$x = \mathrm{e}^{t^2 + c}$ (1)

Pak hledám partikulární řešení:
Zderivuju (1) $x' = \mathrm{e}^{t^2 + c}\cdot 2t$ a dosadím do zadané dif. rovnice:
$\mathrm{e}^{t^2 + c}\cdot 2t = 2t\cdot \mathrm{e}^{t^2+c}-\mathrm{e}^{t^2}$
Vyjde mi: $0=-\mathrm{e}^{t^2}$

Teď ale nevím, co dál. Může mi někdo prosím poradit? Je samozřejmě možné, že jsem něco udělal špatně..

darkmagic · 01. 01. 2012 22:26

Zeptám se tedy jinak: Jak se prosím počítá tento příklad?

(omlouvám se, pokuď někomu přijdu netrpělivý, ale potřeboval bych to pozítří ke zkoušce)

vanok · 01. 01. 2012 22:33

Ahoj ↑ darkmagic:,
Mozes pouzit metodu variaci konstant

A toto ta moze zaujimat
http://www.math.sk/skripta2/node85.html

darkmagic · 01. 01. 2012 23:09

↑ vanok:Díky za Tvoji reakci.
Díval jsem se do odkazu, co jsi uvedl a porovnával jsem můj postup u zmíněného příkladu a postup u ukázkového příkladu 15. v odkazu.
Postupy se shodují, ale ve chvíli kdy tam autor provede Metódou variácie konštánt pre neznámu funkciu $c(x)$ , z čehož po úpravě dostane $c'(x) = sin(x)$ . Mně ale po úpravě vyjde $0\cdot c'(x) = -\mathrm{e}^{t^2}$ . On pak počítá všeob. řešení dif. rovnice, ale já nemám z čeho. Takže jsem něco asi udělal špatně a já na to ne a ne přijít. Můžeš mi prosím pomoct?

vanok · 01. 01. 2012 23:28

↑ darkmagic:
Tvoje riesenie mozes napisat vo forme
$x=K e^{t^2}$ lebo $e^c$ je tiez konstanta ( ... porozmyslaj preco )
A na K pouzi metodu variacie konstant.

darkmagic

↑ vanok:
Proč se můj zápis $x = \mathrm{e}^{t^2 + c}$ dá přepsat takto $x=K e^{t^2}$ mi je jasné.
Potom tedy použiju variaci konstanty:
$K'(x)\cdot \mathrm{e}^{t^2} + K(x)\cdot \mathrm{e}^{t^2}\cdot 2t = 2t\cdot K(x)\cdot \mathrm{e}^{t^2}-\mathrm{e}^{t^2}$
Dále pak $K'(x)\cdot \mathrm{e}^{t^2} =-\mathrm{e}^{t^2}$ , $K'(x) =\frac{-\mathrm{e}^{t^2}}{\mathrm{e}^{t^2}\ }$ a $K(x) = - 1 + konstanta$

Jdu na to správně?

vanok · 02. 01. 2012 00:25 — Editoval vanok (02. 01. 2012 03:08)

↑ darkmagic:,
robis pokroky, ale $K'(t) =\frac{-\mathrm{e}^{t^2}}{\mathrm{e}^{t^2}\ }=-1$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Necham ta to dokoncit a napisat tvoje dokonale riesenit

darkmagic

↑ vanok:
J, vidím to $K(x) = - x + konstanta$ . Teďka pořešim, co dál. Zatím ti děkuju.

Vymyslel jsem toto $x = \mathrm{e}^{t^2 + (-x + konstanta)}$ , ale moc se mi to nelíbí.
Obecný výsledek by měl být prý ve tvaru $x(t) = c\mathrm{e}^{t^2} - t\mathrm{e}^{t^2}$

vanok · 02. 01. 2012 03:17

↑ darkmagic:;
1)chcel si asi napisat K(t)=...
2) "constanta" K je taka $x(t)=K e^{t^2}$
Tak aj v metode variacii konstat "funkcia" K(t) bude nasobit....

POZOR na pouzivane symboly tu mame znacie x(t)... x je funkcia zavisla na t...
tak to treba respektovat!

Dufam ze s tymito poznamkamy hravo dokoncis tento problem.

darkmagic · 02. 01. 2012 10:29

↑ vanok:
1) Takže jsem 'chtěl' napsat $K(t) = - t + konstanta$ , potom by tedy asi mělo být i K(t) místo K(x) u mého příspěvku #6.

2) Druhou poznámku jsem bohužel nepochopil.

vanok · 02. 01. 2012 10:35

↑ darkmagic:,
Mas
$x(t)=K(t) e^{t^2}$
vypocitas K(t)
Tak ho musis nahradit do prvej rovnice
a nie ako ty $x = \mathrm{e}^{t^2 + (-x + konstanta)}$ to name nic spolocne z tym co sme robili

darkmagic · 02. 01. 2012 10:50

↑ vanok:
Dobře, vypočítám K(t): $K(t) = \frac{x(t)}{\mathrm{e}^{t^2}}$

Teď musím K(t) dosadit do první rovnice, která vypadá takto $x' = 2tx - \mathrm{e}^{t^2}$ .

Promiň, ale můžeš mi to napsat už celý dořešený? Já jsem se do toho už zahrabal až po uši..

kaja.marik

Zdravim, spatne jste to pochopil, pokusim se metodou Ctrl+C, Ctrl+V trosku lip objasnit, co se tim myslelo.

Mas $x(t)=K(t) e^{t^2}$ , vypocitals $K(t) = - t + konstanta$ , tak ho musis nahradit do $x(t)=K(t) e^{t^2}$ .

darkmagic

↑ kaja.marik:Také zdravím,
potom tedy $x(t)= (- t + konstanta) \cdot e^{t^2}$ .
Co bude prosím následovat?

vanok · 02. 01. 2012 11:10

↑ darkmagic:,
Konecne to mas!!!
Prestuduj to este v klude a dufam ze chapes tvoje chyby a si sa na nich vela poucil

darkmagic · 02. 01. 2012 11:14

↑ vanok:
Nevšiml jsem si, že je to potřeba už jenom roznásobit $x(t)= (- t + konstanta) \cdot e^{t^2}$ , abych dostal tvar $x(t) = c\mathrm{e}^{t^2} - t\mathrm{e}^{t^2}$ .

Projdu si to a zkusim si spočítat další příklady. Mockrát děkuji za pomoc, čas a ochotu.

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2011 17:01

Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#2 01. 01. 2012 22:26

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#3 01. 01. 2012 22:33

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#4 01. 01. 2012 23:09

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#5 01. 01. 2012 23:28

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#6 02. 01. 2012 00:07 — Editoval darkmagic (02. 01. 2012 00:10)

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#7 02. 01. 2012 00:25 — Editoval vanok (02. 01. 2012 03:08)

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#8 02. 01. 2012 00:30 — Editoval darkmagic (02. 01. 2012 01:06)

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#9 02. 01. 2012 03:17

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#10 02. 01. 2012 10:29

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#11 02. 01. 2012 10:35

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#12 02. 01. 2012 10:50

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#13 02. 01. 2012 10:54 — Editoval kaja.marik (02. 01. 2012 10:54)

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#14 02. 01. 2012 11:01 — Editoval darkmagic (02. 01. 2012 11:01)

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#15 02. 01. 2012 11:10

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

#16 02. 01. 2012 11:14

Re: Lineární difer. rovnice 1 . řádu

Zápatí