Matematické Fórum

Aquabellla · 02. 01. 2012 18:13

Zdravím, mám příklad: Určete počet řešení rovnic/nerovnic:
a) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ v $\mathbb N_0$
Řešení: $\frac{(n + k - 1)!}{n! \cdot (k - 1)!} = {n + k - 1 \choose k - 1}$
b) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ v $\mathbb N$
Řešení: ${n - k + k - 1 \choose k - 1} = {n - 1 \choose k - 1}$
c) $x_1 + x_2 + ... + x_k \le n$ v $\mathbb N_0$
Řešení: ${n + k + 1 - 1 \choose k} = {n + k \choose k}$
d) $x_1 + x_2 + ... + x_k \le n$ v $\mathbb N$
Řešení: ${n - k + k \choose k} = {n \choose k}$

Prosím vás, jak jsme došli k těmto výsledkům? Úplně jsem se do toho zamotala. Předem díky!

zdenek1 · 02. 01. 2012 18:23

↑ Aquabellla:
a) je klasika - Kolika způsoby můžu $k$ dětem rozdělit $n$ stejných ( nerozlišitelných) míčků? - pravděpodobně to znáš jako kombinace s opakováním
b) Kolika způsoby můžu $k$ dětem rozdělit $n$ stejných ( nerozlišitelných) míčků, když každé musí dostat aspoň jeden?

jarrro · 02. 01. 2012 18:28

medzi n nerozlíšiteľných vecí vsunuješ k-1 nerozlíšiteľných prekážok
napr. pre n=5 ,k=3
$||*****\equiv 0+0+5\nl |*|****\equiv 0+1+4$ atď
a nerovnica tak spočítaš pre n=1,n=2 atď... n=n a sčítaš
netreba brať príliš vážne,ale asi tak nejak

Phate · 02. 01. 2012 18:30

Dulezite je vzdy dany problem prevest do $\mathbb N_0$ a kdyz je to nerovnice, tak si tam pridame jeste jednu neznamou a resime problem "rozdel prepazky mezi n predmetu" a kdyz ma soucet k cisel byt n, tak vezmeme n "micku" a mezi tyto micky dame k-1 prihradek, to je cele. Dulezite je ten problem prevest z $\mathbb N$ do $\mathbb N_0$ , jinak figl s prihradkami nefunguje

jarrro · 02. 01. 2012 18:32

keď je len v N tak sa pridá podmienka,že prvá musí byť vec a prekážky nemôžu ísť bezprostredne za sebou

Aquabellla

↑ Phate: ↑ jarrro: ↑ zdenek1:

Díky moc, teď už to chápu :-)

vanok · 02. 01. 2012 18:47 — Editoval vanok (02. 01. 2012 18:50)

Ahoj [re]p247624|Aquabellla[/re
Je vela metod na taketo cvicenia/
Ukazem ti jednu ( velmi elementarnu ) metodu na otazku a)
POLOZME:
$y_1=1+ x_1$
$y_2=2+x_1+x_2$
...
$y_k=k+ x_1+ x_2+...+ x_k$

Okamzite mame:
$0 \le y_1<y_2<...<y_k= n+k$
lebo $x_i \in \mathbb{N}_0$ a $x_1+ x_2+...+ x_k=n$

Tiez plati ze $1 \le y_i \le n+k-1$ pre $i \in \{1; 2;...; k-1\}$
Je jednoduche vidiet ze kazdej k-tici $(x_1; x_2;...; x_k)$ koresponduje jedna k-1-tica $(y_1; y_2;...y_{k-1})$
a opacne kazdej k-1-tici $(y_1; y_2;...y_{k-1})$ takej ze $1 \le y_1<y_2<...<y_{k-1}$ koresponduje k-tica $(x_1; x_2;...; x_k)$
A vlastne nasa otazka sa da ekuivantne takto formulovat:
Kolko je sposobov vybrat k-1 positivnych celych cisiel medzi n+k-1 cislamy
A to je ${n + k - 1 \choose k - 1}$

Stastlivy Novy Rok 2012