Matematické Fórum

k3nn1 · 02. 01. 2012 19:40

Zdravím mám problém s tímto příkladem.

$z=(1+i\sqrt{3})/(1-i)$
$w=z^{20}$
$\sqrt[3]{w}$

za jakékoliv rady a postupy budu vděčný ;) díky , hlavně to Z zbytek už asi zvladnu

Stýv · 02. 01. 2012 19:45

rozšiř zlomek číslem 1+i

k3nn1 · 02. 01. 2012 19:49

↑ Stýv:
To sem zkoušel ale nedojdu k žádnému kloudnému výsledku nikdy...

teolog · 02. 01. 2012 19:55 — Editoval teolog (02. 01. 2012 19:56)

↑ k3nn1:
$z=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{1+i+i\sqrt{3}+i^2\sqrt{3}}{1-i^2}=\frac{1-\sqrt{3}+i(1+\sqrt{3})}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Pro výpočet z^20 použijte goniometrický tvar komplexního čísla a Moivreovu větu.

k3nn1 · 02. 01. 2012 20:32

↑ teolog:
díky, no teoreticky vím jak to udělat .... |z| mi vyslo 2 akorat ty uhly nvm vubec jak se dopočítavali už :(

teolog · 02. 01. 2012 20:39 — Editoval teolog (02. 01. 2012 20:39)

↑ k3nn1:
Pomocí těchto vztahů: $http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/8/d/e/8de4f879825a99220e078248661767c6.png$ a $http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/8/e/7/8e7c079fb80cecd73527ba2c31df2876.png$ , kde komplexní číslo z je ve tvaru a+bi.

k3nn1 · 02. 01. 2012 20:41

↑ teolog:
takže $\Pi /4$ teda ?

teolog · 02. 01. 2012 20:45

↑ k3nn1:
To ne, už ta absolutní hodnota není dobře. Asi máte chybku ve výpočtu. Zkuste si to překontrolovat.

k3nn1 · 02. 01. 2012 20:50

↑ teolog:
takze to |Z| by melo byt $\sqrt{2}$ ? :-)

teolog · 02. 01. 2012 20:50

↑ k3nn1:
Ano.

k3nn1 · 02. 01. 2012 20:58

↑ teolog:
dík :) A nemohl byste mi tu napsat postup jak ted ty uhlu z toho dopočítam.

teolog · 02. 01. 2012 21:02

↑ k3nn1:
No, tak teď stačí dosadit do těch vzorců:
$\cos\varphi=\frac{\frac{1-\sqrt3}{2}}{\sqrt2}$ , totéž pro sinus fí.
Hodnoty nejsou moc pěkné, ale s pomocí kalkulačky vyjde fí 105°.

k3nn1 · 02. 01. 2012 21:14

↑ teolog:
no tak tim asi končím :D tohle do te věty dosadit s čislem se da ale z5 pak to převést to už nejde snad ani

teolog · 02. 01. 2012 21:21

↑ k3nn1:
Tomu nerozumím, ten výraz na pravé straně spočítáte na kalkulačce a dáte cos^-1, vyjde Vám 105°, to je celkem pěkný výsledek.
$\cos\varphi=\frac{\frac{1-\sqrt3}{2}}{\sqrt2}$
$\cos\varphi=-0.258819045$
$\varphi=105°$

k3nn1 · 02. 01. 2012 21:24

↑ teolog:
Jo už mi to došlo :D díky, už sem to dopočítal asi cele vyšlo mi to $1024i$ , je to možné ?

teolog · 02. 01. 2012 21:44

↑ k3nn1:
To asi ne.
Jak jste postupoval při dosazení do Moivreho vzorce?

k3nn1 · 02. 01. 2012 21:50 — Editoval k3nn1 (02. 01. 2012 21:55)

↑ teolog:
jo už sem si tez vsiml ze je to spatne... pokud tam dosadim 105 , coz je 7/12 pi tak to mam
$1024*(\frac{\sqrt{2}+1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})$

teolog · 02. 01. 2012 21:57

↑ k3nn1:
Mně to vychází takto:
$z^{20}=1024\cdot$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$=512-512\sqrt3i$

k3nn1 · 02. 01. 2012 22:09

↑ teolog:
podle výsledku je to spravně, ale ted vubec nevim co tam spatne dosazuju... ale i tak díky moc

k3nn1 · 02. 01. 2012 22:17

↑ k3nn1:
a ta 3 odmocnina pak bude tedy ?
$8-8\sqrt[6]{3} i$

teolog · 02. 01. 2012 22:21

↑ k3nn1:
$z=\frac{1-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
$z^{20}=|z|^{20}(\cos20\cdot105°+i\cdot\sin20\cdot105°)=\sqrt{2}^{20}\cdot$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$=512-512\sqrt3i$

teolog · 02. 01. 2012 22:25

↑ k3nn1:
S tou odmocninou je to trochu složitější, bude to mít více řešení, ale já už musím na kutě.

Pokud neporadí někdo z kolegů, mrknu se na to zítra dopoledne.

k3nn1 · 02. 01. 2012 22:27

↑ teolog:
ok, tak dík za pomoc ;)

teolog · 03. 01. 2012 10:20 — Editoval teolog (03. 01. 2012 10:22)

↑ k3nn1:
Tak pokud jde o odmocninu z komplexního čísla, máme na to vzorec:
$http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/b/2/d/b2db1e10aa669c238a43a7e853229e66.png$

Stačí postupně dosadit k=0,1,...,n-1

vanok · 03. 01. 2012 11:02 — Editoval vanok (03. 01. 2012 12:37)

Ahoj ↑ k3nn1:,
pozeral som tu na metodu co je tu navrhnuta.
Pochopitelne je to dokonala metoda.
Osobne vsak dopororucujem, a najma ked treba vypocitat takyto priklad za 5 min maximum tento postup na zaciatok vypoctov.
Pred upravou "zlomku" v $z=(1+i\sqrt{3})/(1-i)$ pouzit complexne jednotky v citateli a menovateli ako prvu etapu
Cize $1+i\sqrt{3}= 2(\frac 12 + i \frac {\sqrt{3}}2)=...$
a $1-i= \sqrt 2 (\frac{\sqrt 2} 2-i\frac{\sqrt 2} 2)=...$
A potom pokracovat vdaka znamemu vzorcu:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))$

kde
$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$ a
$z_2=r_1(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$

No ostava mi len zazelat STASTLIVY NOVY ROK 2012

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2012 19:40

Koomplexní čísla

#2 02. 01. 2012 19:45

Re: Koomplexní čísla

#3 02. 01. 2012 19:49

Re: Koomplexní čísla

#4 02. 01. 2012 19:55 — Editoval teolog (02. 01. 2012 19:56)

Re: Koomplexní čísla

#5 02. 01. 2012 20:32

Re: Koomplexní čísla

#6 02. 01. 2012 20:39 — Editoval teolog (02. 01. 2012 20:39)

Re: Koomplexní čísla

#7 02. 01. 2012 20:41

Re: Koomplexní čísla

#8 02. 01. 2012 20:45

Re: Koomplexní čísla

#9 02. 01. 2012 20:50

Re: Koomplexní čísla

#10 02. 01. 2012 20:50

Re: Koomplexní čísla

#11 02. 01. 2012 20:58

Re: Koomplexní čísla

#12 02. 01. 2012 21:02

Re: Koomplexní čísla

#13 02. 01. 2012 21:14

Re: Koomplexní čísla

#14 02. 01. 2012 21:21

Re: Koomplexní čísla

#15 02. 01. 2012 21:24

Re: Koomplexní čísla

#16 02. 01. 2012 21:44

Re: Koomplexní čísla

#17 02. 01. 2012 21:50 — Editoval k3nn1 (02. 01. 2012 21:55)

Re: Koomplexní čísla

#18 02. 01. 2012 21:57

Re: Koomplexní čísla

#19 02. 01. 2012 22:09

Re: Koomplexní čísla

#20 02. 01. 2012 22:17

Re: Koomplexní čísla

#21 02. 01. 2012 22:21

Re: Koomplexní čísla

#22 02. 01. 2012 22:25

Re: Koomplexní čísla

#23 02. 01. 2012 22:27

Re: Koomplexní čísla

#24 03. 01. 2012 10:20 — Editoval teolog (03. 01. 2012 10:22)

Re: Koomplexní čísla

#25 03. 01. 2012 11:02 — Editoval vanok (03. 01. 2012 12:37)

Re: Koomplexní čísla

Zápatí