Matematické Fórum

Golah · 02. 01. 2012 21:13

Zdravim mam jeste jeden dotaz priklad je nasledujici
$\sum_{n=1}^{\infty } (n+1)/n*x^n$

polomer konvergence jsem si spocital a vyslo mi 1 ovsem obor konvergence nevim jak spocitat dohledal jsem si stred v bode 0 vim ze dosadim -1 a 1 za x. muzete mi nekdo napsat jak by ty 2 rady mely vypadat popripade resit? moje predstava je asi takova pro -1 $\sum_{n=1}^{\infty } (n+1)/n *(-1)^n$ a pro 1 $\sum_{n=1}^{\infty } (n+1)/n *1^n$ po reseni jsem dospel k divergenci ale rada by mela konvergovat :X v cem mam chybu?

Oxyd · 02. 01. 2012 21:34 — Editoval Oxyd (02. 01. 2012 21:51)

Řada $\sum_{n = 1}^\infty \frac{n + 1}{n} \cdot (-1)^n$ konverguje podle Leibnizova kritéria.

Řada $\sum_{n = 1}^\infty \frac{n + 1}{n} \cdot 1^n = \sum \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \sum 1 + \frac{1}{n}$ diverguje kvůli nutné podmínce konvergence: $\lim 1 + \frac{1}{n} = 1 \ne 0$ .

Jinak poloměr konvergence máš správně, stejně jako jsi správně získal řady po dosazení x = -1 a x = 1. (Předpokládám, že zadání je $\sum_{n = 1}^\infty \frac{n + 1}{n} \cdot x^n$ .)

Zdá se mi tedy, že to má konvergovat na intervalu [-1, 1). Skutečně máš ve výsledcích, že pro x = 1 je to konvergentní?

Edit: Proč to dělat jednoduše, když to jde složitě? Netřeba porovnávat druhou řadu s harmonickou, stačí se podívat na nutnou podmínku konvergence.

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2012 21:13

bodova konvergence

#2 02. 01. 2012 21:34 — Editoval Oxyd (02. 01. 2012 21:51)

Re: bodova konvergence

Zápatí