Matematické Fórum

thomerius · 03. 01. 2012 13:39

Ako sa dá počítať takýto integrál? nevidím tam možnoť per partes ani substitúciu :/
$\frac{5sin^2x+3cos^2x}{2sin^2x.cos^2x}$

Rumburak · 03. 01. 2012 13:44

↑ thomerius:
Co dostaneme, když zlomek rozložíme na součet

$\frac{5\sin^2x+3\cos^2x}{2\sin^2x\,\cos^2x} = \frac{5\sin^2x}{2\sin^2x\,\cos^2x} + \frac{3\cos^2x}{2\sin^2x\,\cos^2x} = ...$ ?

thomerius · 03. 01. 2012 14:00

$\int[\frac{\frac{5}{2}}{cos^2x}+\frac{\frac{3}{2}}{sin^2x}]=\frac{5}{2}tg(x)-\frac{\frac{3}{2}}{tg(x)}+c$
aha to som tam nevidel :(
potom to len takto dokončím?

Rumburak · 03. 01. 2012 14:11

↑ thomerius:
Téměř je to správně, lépe by bylo $\frac{5}{2}tg(x)-\frac{3}{2} cotg(x)+c$ , což se od Tvého poněkud liší definičním oborem.

thomerius · 03. 01. 2012 14:23

ten cotg je tam pretože si ho dal hore nad zlomkovú čiaru?

Rumburak

↑ thomerius:
Ne, ten cotg je tam proto, poněvadž na definičním oboru této funkce je

$(\mathrm{cotg}\,x)^{\prime} = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime} =\frac{(\cos x)^{\prime}\sin x - \cos x (\sin x)^{\prime}}{\sin^2x} = \frac{-\sin^2x -\cos^2x}{\sin^2x} = -\frac {1}{\sin^2x}$

a tedy $\int \frac {1}{\sin^2x} \,\mathrm{d}x = -\mathrm{cotg}\,x + K$ na každém intervalu, kde je funkce cotg spojitá .

EDIT.
Souástí úlohy na nalezení primitivní funkce je i určit interval (či intervaly) , na nichž je vztah $\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C$ splněn .

thomerius · 03. 01. 2012 15:26

Aha dakujem

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2012 13:39

Integral

#2 03. 01. 2012 13:44

Re: Integral

#3 03. 01. 2012 14:00

Re: Integral

#4 03. 01. 2012 14:11

Re: Integral

#5 03. 01. 2012 14:23

Re: Integral

#6 03. 01. 2012 14:37 — Editoval Rumburak (03. 01. 2012 14:45)

Re: Integral

#7 03. 01. 2012 15:26

Re: Integral

Zápatí