Matematické Fórum

myrek · 02. 01. 2012 18:04

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{n+\frac1n}}{(n+\frac1n)^n}$
tak tady se mi to nedari nejak pokratit dirichletem ani cauchym aby mi z toho neco vylezlo
dik

jarrro · 02. 01. 2012 18:13

veď to nespĺňa ani nutnú podmienku konvergencie

myrek · 03. 01. 2012 01:05 — Editoval myrek (03. 01. 2012 01:06)

↑ jarrro:
tak sem to asi spatne spoctl
$\lim_{n\to\infty}\frac{exp^{nlnn+\frac1nlnn}}{exp^{nln(n+\frac1n)}}= \lim_{n\to\infty}\frac{exp^{nlnn}exp^{\frac1nlnn}}{exp^{nln(n+\frac1n)}}= \lim_{n\to\infty}\frac{exp^{nlnn}exp^{n^{-1}lnn}}{exp^{nln(n+\frac1n)}}=$
$= \lim_{n\to\infty}\frac{exp^{lnn^n}exp^{lnn^{n^{-1}}}}{exp^{nln(n+\frac1n)}}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{exp^{nln(n+\frac1n)}}=\frac1{e^\infty}=0$

jarrro · 03. 01. 2012 01:50 — Editoval jarrro (17. 08. 2021 11:21)

$\frac{n^{n+\frac1n}}{(n+\frac1n)^n}=\frac{\mathrm{e}^{\left(n+\frac{1}{n}\right)\ln{n}}}{\mathrm{e}^{n\ln{\left(n+\frac{1}{n}\right)}}}=\mathrm{e}^{\left(n+\frac{1}{n}\right)\ln{n}-n\ln{\left(n+\frac{1}{n}\right)}}\nl \left(n+\frac{1}{n}\right)\ln{n}-n\ln{\left(n+\frac{1}{n}\right)}=n\ln{n}+\frac{\ln{n}}{n}-n\left(\ln{\left(n^2+1\right)}-\ln{n}\right)=\nl=2n\ln{n}+\frac{\ln{n}}{n}-n\ln{\left(n^2+1\right)}$
pretože logaritmus rastie pomalšie ako n tak stačí skúmať
$\lim_{n\to\infty}{2n\ln{n}-n\ln{\left(n^2+1\right)}}$ tá je nulová,lebo jednotku možno zanedbať pri n^2 teda pôvodná limita je jedna
neviem ako si došiel na to,že $\mathrm{e}^{\ln{n^n}}\mathrm{e}^{\ln{n^{n^{-1}}}}=1$ nie je to pravda

myrek · 03. 01. 2012 16:45

↑ jarrro:
predstavoval sem si to jako $a*a^{-1}=1$
tak tak sem na to dosel takze to bylo tedy chybne
jinak tu limitu $2nlnn-nln(n^2+1)$ jsem si rozepsal a vysla mi nula take
takze dekuji za radu

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2012 18:04

rada

#2 02. 01. 2012 18:13

Re: rada

#3 03. 01. 2012 01:05 — Editoval myrek (03. 01. 2012 01:06)

Re: rada

#4 03. 01. 2012 01:50 — Editoval jarrro (17. 08. 2021 11:21)

Re: rada

#5 03. 01. 2012 16:45

Re: rada

Zápatí