Matematické Fórum

U_S_O · 09. 09. 2008 12:20

zdravím...potreboval by som pomôc? s výpočtom týchto troch príkladov :

o dva dni mám skúšku a podobné príklady sa tam vyskytnú...vopred ďakujem za pomoc...

Pavel Brožek

1)
Taylorovu řadu spočítáme podle
$f(x) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k}$ kde $f(x)=\frac1x$ a $a=3$

Zřejmě $f^{(k)}(x)=(-1)^k k!\frac1{x^{k+1}}$ (je to vidět když si zkusíš pár derivací, dokázat to můžeš indukcí). Je tedy

$f(x) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k k!\frac1{3^{k+1}}}{k!} (x-3)^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac1{3^{k+1}} (x-3)^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} -\left(-\frac13\right)^{k+1}(x-3)^{k}$

2) MacLaurinova řada je Taylorova řada se středem v nule, takže budeme dosazovat do
$f(x) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k}$ kde $f(x)=\frac1{1+x}$ .

Opět snadno zjistíme, že $f^{(k)}(x)=(-1)^k k!\frac1{(x+1)^{k+1}}$ a tedy $f^{(k)}(0)=(-1)^k k!$ . Dosazením máme

$f(x) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k k!}{k!} x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{k}$

3) Pro poloměr konvergence R mocninné řady platí

$R = \frac{1}{{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}}=\frac{1}{{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac1{2n}\left(\frac38\right)^n}}}=\frac{\,1\,}{\frac38}=\frac83$

Řada tedy konverguje pro x, pro která platí $|x|<\frac83$ . Pro $|x|=\frac83$ máme konvergenci podle Dirichletova kritéria pro $x\neq\frac83$ , pro $x=\frac83$ řada diverguje.

Pokud nás tedy zajímají pouze reálná x, tak řada konverguje pro $x\in[-\frac83,\frac83)$ .

Nerozepisoval jsem to moc podrobně, takže pokud ti nějaký krok není jasný, tak napiš.

U_S_O · 09. 09. 2008 14:52 — Editoval U_S_O (09. 09. 2008 15:04)

no ten prvý príklad mám z úloh ktoré nám dala profesorka a výsledok tam bol takýto :

a v tom tre?om príklade čo znamená limsup ? je to to isté ako lim ? lebo čo sa pamätám tak sme nikdy nepočítali s limsup. A nechýba tam pod odmocninou ešte krát x^n ako je v zadaní ?

A ešte by som rád vedel kde môžem robi? tie vzorce, príklady a pod. aby som to mohol da? potom do [tex][/tex ]

Pavel Brožek · 09. 09. 2008 15:24

↑ U_S_O:

Ten první příklad - je to to samé, zkus si vypsat prvních pár členů. Jen jsem to zapsal ve tvaru $\sum_{k=0}^{\infty}a_k (x-x_0)^k$ .

limsup je limes superior, tj. pro nějakou posloupnost $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ je $\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to \infty}\sup_{k>n}a_k$ . Pokud posloupnost má limitu, pak platí $\lim_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n$ .

x^n pod odmocninou nechybí, pro poloměr konvergence mocninné řady $\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n$ platí vzorec
$R = \frac{1}{{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}}$ na wikipedii

Tvá otázku na [tex][/tex ] mi není moc jasná - můžeš psát přímo do zprávy třeba [tex]\sqrt[n]{|a_n|}[/tex ] nebo vpravo při psaní zprávy by měl být editor latexu, tak v něm to naklikat a pak nakopírovat mezi [tex][/tex ].

U_S_O · 09. 09. 2008 16:04

OK...Ďakujem pekne...

to s tým tex som len nevedel ako sa robia znaky napr. suma, integrál a pod. ale už som to tu našiel : http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=224

Matematické Fórum

#1 09. 09. 2008 12:20

Taylorov rad/MacLaurinov rad + Mocninový rad

#2 09. 09. 2008 13:29 — Editoval BrozekP (09. 09. 2008 14:22)

Re: Taylorov rad/MacLaurinov rad + Mocninový rad

#3 09. 09. 2008 14:52 — Editoval U_S_O (09. 09. 2008 15:04)

Re: Taylorov rad/MacLaurinov rad + Mocninový rad

#4 09. 09. 2008 15:24

Re: Taylorov rad/MacLaurinov rad + Mocninový rad

#5 09. 09. 2008 16:04

Re: Taylorov rad/MacLaurinov rad + Mocninový rad

Zápatí