Matematické Fórum

Sam_Hawkins · 03. 01. 2012 21:25

Dobrý večer, zajímalo by mě, jak dokážu rovnost:
$y_{n}=y_{h}+y_{p}$

přičemž $y_{n}$ je obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice, $y_{h}$ je o.ř. odpovídající homogenní rovnice a $y_{p}$ je partikulární řešení této nehomogenní LDR?

mělo by to asi vyplívat z věty, která říká že rozdíl dvou partikulárních řešení NLDR je řešením HLDR (kterou umím dokázat). Je možné že to mám před očima a jen nejsem schopný přijít na závěrečný krok.

Díky:)

jardofpr · 04. 01. 2012 01:38

Zdravím,

vďaka tomu že množina všetkých riešení HLDR tvorí konečnorozmerný vektorový priestor nad $\mathbb{R}$ dimenzie n (a teda aj podpriestor reálnych priestorov vyšších dimenzií) si myslím že sa "môžme hrať" na jednoznačné bázické aj afinné súradnice, potom vyjadrenie $y_{p} + y_{h}$ by malo byť parametrickým vyjadrením afinného podpriestoru $y_{n}$ všetkých riešení tejto NLDR, o ktorom by už nemal byť problém ukázať že ho odčítaním/pričítaním partikulárneho riešenia vieme "posunúť" do nuly a zasa späť

možno by si mohol skúsiť teraz vziať ľubovoľné $y_{p_{2}}$ z množiny všetkých riešení NLDR a a napísať si ho v tvare $y_{p_{2}} = y_{p} + $ y_{p_{2}} - y_{p} $$ (pričom to $y_{p}$ je samozrejme partikulárne riešenie ktoré už máš ) ..

podľa toho čo si spomenul že vieš dokázať už vieš že tá zátvorka je riešením príslušnej HLDR

ešte chcem povedať že to čo som tu napísal som neoveril, takto sa mi to javí z hľadiska lineárnej algebry, a okrem toho je dosť neskoro večer, takže bude dobré ak si to najprv ešte rozmyslíš ;-)

Rumburak

↑ Sam_Hawkins:

Také zdravím. Principem, který k tomuto výsledku vede, je opravdu jen linearita, jak již naznačil kolega ↑ jardofpr:.
Snadno nahlédnme, že platí věta

Jsou-li $X,Y$ lineární prostory, $L:X\to Y$ lineární zobrazení a $\vec{p}\in X , \vec{b} \in Y$ takové, že $L\vec{p} = \vec{b}$ , potom

(1) $(\forall \vec{x}\in X ) (L\vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow L(\vec{x}-\vec{p}) = \vec{0} )$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Formuli $L(\vec{x}-\vec{p}) = \vec{0}$ z (1) můžeme vyjádřit ve tvaru $\vec{x}-\vec{p} \in \mathrm{Ker}\,L$ neboli $\vec{x} \in \vec{p} + \mathrm{Ker}\,L$ , kde

$\mathrm{Ker}\,L := \{ \vec{x} \in X : L(\vec{x}) = \vec{0} \}$

je tzv. jádro linárního zobrazení L .

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2012 21:25

Nehomogenní diferenciální rovnice - důkaz

#2 04. 01. 2012 01:38

Re: Nehomogenní diferenciální rovnice - důkaz

#3 04. 01. 2012 10:23 — Editoval Rumburak (04. 01. 2012 15:17)

Re: Nehomogenní diferenciální rovnice - důkaz

Zápatí