Matematické Fórum

budak · 07. 09. 2008 17:04

Dobrý den, potřeboval bych pomoct s řešením č. soustav. Dostali jsme to za ukol jako samostudium a ja to jaksi nechápu :).

Takže potřebuji převést čísla:
5,120,300 do dvojkové, osmičkové, a šestnáctkové soustavy..

Zatím jsem vyřešil jen č. 5 - Dvojková - 101, osmičková - 5, šestnácková - 5
ale se 120, a 300 si nevám rady

jarrro · 07. 09. 2008 18:32

uvedom si čo je to číslo v číselnej sústave je to číselný rad napr $ABC_{16}=10*16^2+11*16^1+12*16^0$ asi najjednoduchšie a najpochopiteľnejšie je si pre každú sústavu priparavi? mocniny základu napr $8^0=1\nl8^1=8\nl8^2=64\nl8^3=512\nlatd$ napr pri 120 môžeme písa? $120=1*64+7*8+0*1$ teda $170_{8}=120_{10}$ podobne je to pri akejkoľvek inej číselnej sústave vždy sa môžu použi? ako koeficienty pri mocninách základu len čísla od 0 po (základ-1)pri sústavách s väčším základom ako desa? nemáme znaky pre číslice tak sa zvyknú použi? prvé veľké písmená abecedy(A B C atď)

Cheop · 08. 09. 2008 13:46 — Editoval Cheop (08. 09. 2008 14:44)

$120_{10}=78_{16}\nl120=7\cdot 16^1+8\cdot 16^0$
$300_{10}=100101100_{2}\nl300=1\cdot 2^8+0\cdot 2^7+0\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0$
$300_{10}=454_{8}\nl300_{10}=4\cdot 8^2+5\cdot 8^1+4\cdot 8^0$
$300_{10}=12C_{16}\nl300_{10}=1\cdot 16^2+2\cdot 16^1+C=256+32+12\nlA=10,B=11,C=12$

$120_{10}=1111000_{2}\nl120=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0$

budak · 08. 09. 2008 15:41

Mohu se zeptat jak u např $http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}120_{10}=78_{16}\\120=7\cdot%2016^1+8\cdot%2016^0$ jste zjistil že 120= 7*16 + 8*16 ? Když t ovidím rozepsané že je to 78 tak to pochopím. Ale nedokážu přijít na to číslo 7 a 8. Díky moc

Chrpa · 08. 09. 2008 17:02 — Editoval Chrpa (08. 09. 2008 17:11)

↑ budak:
Číslo 120 vydělím číslem 16 a dostanu 7,5. To znamená, že 16^1 tam bude 7 krát a zbyde 8 což je 8*16^0 (cokoliv na nultou je 1 kromě výrazu 0^0)

Kdybychom chtěli převést číslo 260 do 16-kové soustavy, pak bychom vlastně vydělili číslo 260 číslem 256(tj 16^2)
260 = 1*16^2+0*16^1+4*16^0 = 104(v šestnáctkové soustavě)

Pak to číslo složíš vlastně zleva doprava:
4*16^0+0*16^1+1*16^2 = 104(16) = 260(10)

jarrro · 08. 09. 2008 17:04 — Editoval jarrro (08. 09. 2008 17:08)

keď postupne delíš mocninami základu číslo v desiatkovej sústave pekne ti to vyjde napr. $120\div 16=7,5\nl120-7*16=8\nl8\div 1=8\nl8-8*1=0$ alebo $120\div 64=1,875\nl120-1*64=56\nl56\div 8=7\nl56-7*8=0\nl0\div 1=0\nl0-0*1=0$ alebo $120\div 64=1,875\nl120-1*64=56\nl56\div 32=1,75\nl56-1*32=24\nl24\div 16=1,5\nl24-1*16=8\nl8\div 8=1\nl8-1*8=0\nl0\div 4=0\nl0-0*4=0\nl0\div 2=0\nl0-0*2=0\nl0\div 1=0\nl0-0*1=0$

musixx · 08. 09. 2008 17:37 — Editoval musixx (08. 09. 2008 17:47)

To, co tady psali ostatni, se da prevezt na takovy hezky algoritmus. Nemusi se v nem dokonce explicitne zabyvat "nejvyssi pouzitelnou mocninou zakladu ciselne soustavy".

Jen jako poznamku uvedu, ze tak lze prevadet i desetinne casti (s malou modifikaci nize popsaneho algoritmu, ale to nebylo soucasti dotazu, takze to zde vynecham).

Kontruujes tabulku o dvou sloupcich se zahlavim. V leve casti zahlavi neni nic, v prave (jen pro zapamatovani) doporucuju uvest zaklad soustavy. Prvnim cislem leveho sloupce je prevadene cislo (v desitkove soustave). Vse se vlastne "odehrava" v desitkove soustave.

Budu hned ilustrovat na priklade prevodu 120 do osmickove soustavy.

$\begin{tabular}{r|l}&8\nl\hline120\nl\nl\nl\end{tabular}$

V kazdem kroku do praveho sloupce pripises (nezaporny) nejmensi zbytek po deleni leveho cisla zakladem soustavy a do leveho sloupce dalsiho radku zapises celou cast "cisla nad nim vydeleneho zakladem soustavy". Nas priklad: 120 je delitelne 8, takze vpravo bude 0 a pod 120 bude 120/8=15.

$\begin{tabular}{r|l}&8\nl\hline120&0\nl15\nl\nl\end{tabular}$

Zbytek po deleni cisla 15 osmi je 7 a (15-7)/8 je 1, takze dale tabulka vypada

$\begin{tabular}{r|l}&8\nl\hline120&0\nl15&7\nl1\nl\end{tabular}$

a dale

$\begin{tabular}{r|l}&8\nl\hline120&0\nl15&7\nl1&1\nl0\end{tabular}$

Konci se, jakmile se vlevo objevi nula. A vysledek se cte jako pravy sloupec zespoda. Tedy 170 je v 8-kove soustave totez jako 120 v 10-kove.

Ma-li soustava zaklad vetsi jak 10, pak se v pravem sloupci mohou objevit zbytky vetsi jak 9, tedy se pouzije nejaka konvence, jako treba 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E a 15=F v 16-kove soustave.

Priklad: 300 do 16-kove soustavy:

$\begin{tabular}{r|l}&16\nl\hline300&12\equiv C\nl18&2\nl1&1\nl0\end{tabular}$

tedy vysledek je 12C.

Chrpa · 08. 09. 2008 17:40 — Editoval Chrpa (08. 09. 2008 17:43)

↑ budak:
Chceš převést číslo 826 zapsané v desítkové soustavě do šestnáctkové číselné soustavy
Nejbližší číslo číslu 826 je číslo 16^2 = 256 (16^3 už ne, protože 16^3>826)
Číslo 826 vydělím číslem 256
$\frac{826}{256}=3,227$ znamená to, že $16^2$ tam bude třikrát
$826=3\cdot 256+58$ teď už nás zajímá pouze ten zbytek tj.číslo 58
Vydělíme číslo 58 číslem 16 a dostaneme:
$\frac{58}{16}=3,625$
$826=3\cdot 16^2+3\cdot 16+10$ teď už nás zajímá pouze zbytek 10.
Protože 10 >9 a my máme pouze číslice 0.....9 musíme si pomoci velkými písmeny A,B,C, D...
číslo 10 zapíšeme pomocí velkého písmene A. Kdyby nám zbylo číslo 11, pak bychom ho zapsali pomocí písmene B
Takže:
$826_{10}=3\cdot 16^2+3\cdot 16+10=33A_{16}$

Doufám, že je to už jasnější.

budak · 08. 09. 2008 22:50

super tohle už chápu, díky! Ale ta dvojková soustava mi pořád nejde..

Cheop · 09. 09. 2008 07:16 — Editoval Cheop (09. 09. 2008 14:46)

↑ budak:
Je třeba si uvědomit, že pokud chceš nějaké číslo převést do dvojkové soustavy můžeš k tomu použít pouze číslice 0 a 1.
Malý příkladek:
Převedeme číslo 124 do dvojkové soustavy:
Mocniny čísla 2 jsou:
$2^0=1\nl2^1=2\nl2^2=4\nl2^3=8\nl2^4=16\nl2^5=32\nl2^6=64\nl2^7=128$
$124_{10}=1\cdot 2^6+60$ teď rozložíme číslo 60 (zbytek)
$124_{10}=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+28$ rozložíme číslo 28
$124_{10}=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+12$ rozložíme číslo 12
$124_{10}=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+4$ rozložíme číslo 4
$124_{10}=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0$ teď už nemáme co rozkládat, protože nám vyšel zbytek 0 ale protože jsme skončili u mocniny $2^2$ musíme doplnit ještě $0\cdot 2^1+0\cdot 2^0$ celé číslo pak bude:
$124_{10}=1111100_{2}$

Kdybychom chtěli číslo $1111100_{2}$ převést zpátky do desítkové soustavy pak by byl postup takovýto: (postupujeme odzadu)
$X_{10}=0\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2+1\cdot 2^3+1\cdot 2^4+1\cdot 2^5+1\cdot 2^6=0+0+4+8+16+32+64=124_{10}$

Ještě převedeme číslo 105 do dvojkové soustavy:
$105_{10}=1\cdot 2^6+41$ zbytek 41 opět rozložíme
$105_{10}=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+9$ rozložíme zbytek 9
$105_{10}=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1$ - mocnina $2^4$ se ve zbytku 9 nevyskytuje, proto $0\cdot 2^4$ máme zbytek 1 ve zbytku 1 se nevyskytuje ani $2^2$ ani $2^1$ proto $0\cdot 2^2+0\cdot2^1$
$105_{10}=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0$ takže celé číslo bude:
$105{\tiny_{10}}=1101001{\tiny_{2}}$

Cheop · 09. 09. 2008 10:20 — Editoval Cheop (09. 09. 2008 10:24)

↑ budak:
Obecně lze říci toto:
Mame-li nějaké číslo z desítkové soustavy převést do jiné číselné soustavy, pak původní
číslo převedeme na součet násobků mocnin čísel o základu té které číselné soustavy.

Jenom doufám, že jsem to napsal srozumitelně.

musixx · 09. 09. 2008 12:11 — Editoval musixx (09. 09. 2008 12:12)

↑ budak: A co je za problem? Podle algoritmu, ktery jsem popsal vyse:

$\begin{tabular}{r|l}&2\nl\hline300&0\nl150&0\nl75&1\nl37&1\nl18&0\nl9&1\nl4&0\nl2&0\nl1&1\nl0\end{tabular}$

tedy 300 je 100101100 dvojkove.

Cheop · 09. 09. 2008 14:19 — Editoval Cheop (09. 09. 2008 14:27)

Máme-li napsat číslo 300 ve dvojkové soustavě, pak toto číslo napíšeme jako součet čísel mocnin čísla 2
300 = 256 + 32 + 8 + 4 přičemž:
$256=2^8\nl32=2^5\nl8=2^3\nl4=2^2$
vidíme, že se v součtu nevyskytují mocniny $2^7\,2^6\,2^4\,2^1\,2^0$ tyto nahradíme při "skládání" čísla nulou a pak píšeme:
$300{\tiny_{10}}=100101100{\tiny_{2}}$

musixx · 09. 09. 2008 18:04

↑ Cheop: Mas samozrejme pravdu. Jak ale prijit prave na to 300=256+32+8+4? Jasne ze mohu hledat vzdy nejvyssi mocninu dvou, ktera se "do zbytku jeste vejde", ale stejne mi prijde muj pristup (ta tabulka) pouzitelnejsi. Nehlede na to najit, jaka je nejvyssi mocnina treba 17 krat nanejvys 16 v cisle treba 1000. To je rozhodne na papire tezsi nez zbytek po deleni cisla 1000 cislem 17.

Zajiste bystri kolegove by zde chteli tez dokazat jednoznacnost zapisu, tedy neco jako $(n-1)\sum_{i=0}^kn^i<n^{k+1}$ , kdyz budeme koeficienty a exponenty hledat takto "do trefy", jak pises. Kdyz na celou situaci ale pujdeme pres "mou" tabulku, ani to nesvadi k mozne nejednoznacnosti (ktera samozrejme neexistuje pro cela cisla, ale treba takove cislo 0.1 ma zcela jiste nekonecny desetinny rozvoj ve dvojkove soustave, protoze jinak souctem zlomku, ktere maji ve jmenovatelich jen mocniny dvou, by vznikl zlomek, ktery ma ve jmenovateli 5 - ale kde by se tam ta petka tak vzala, ze?). No a v okamziku existence nekonecnych rozvoju uz otazka jednoznacnosti je miste vic - viz. 1=0.999999999....

ttopi · 09. 09. 2008 18:13

Jen chci poznamenat, že my jsme se v Algebře a teoretické Aritmetice učili oba způsoby. Jak postupné dělení se zbytkem, tak hledání mocnin, které se do čísla vejdou, obě mají své využití, každému vyhovuje jiná. Já osobně mám radši tu s mocninama :-)

Chrpa · 09. 09. 2008 18:17

↑ musixx:
Chrpa = Cheop
Já proti tvé tabulce nic nenamítám a dokonce se mi tvůj postup líbí.

Ale původní dotaz nebo lépe řečeno zadání bylo převést několik čísel do několika číselných soustav
a to formou samostudia. Proto jsem se tazateli snažil nastínit takový postup, aby to pochopil. Navíc si myslím,
že vypsat si někde na papír mocniny toho kterého čísla není až takový problém.

Chrpa · 09. 09. 2008 18:50

↑ musixx:

Mám pro Tebe jakési podivné násobení.
Zadaní:
$23\cdot 26=642$

musixx · 10. 09. 2008 08:32 — Editoval musixx (10. 09. 2008 08:32)

↑ Chrpa: Je-li to priklad na ciselne soustavy, :-) tak by urcite kazdy sel po vyznamu zapisu cisla jakozto posloupnosti cislic, tedy by se dostal jistojiste k necemu jako $(2n+3)(2n+6)=6n^2+4n+2$ , tedy resenim by bylo n=8. Mozna jsi ale take mel na mysli nasobeni trid ve faktorokruzich ${\mathbb Z}/n\mathbb Z$ , tedy resenim by bylo $n\in\{1,2,4\}$ . Mozna jsi tez mel na mysli p-adicka telesa, a pak by bylo reseni jedine, n=2.

Cheop · 10. 09. 2008 09:01 — Editoval Cheop (10. 09. 2008 09:12)

↑ musixx:

Ano měl jsem na mysli, že uvedené násobení platí pro osmičkovou číselnou soustavu,
protože jsme zde probírali převod čísel do jiných číselných soustav.

musixx · 10. 09. 2008 09:40

↑ Cheop: Myslel jsem, ze smajlik v mem predchozim prispevku rika dost jasne, ze jsem pochopil, ze uvadis priklad, kdy je zahodno jit k definici zapisu cisla v ciselne soustave pomoci mocnin.

Jak uz tady nekdo psal, obe metody prevodu maji sve vyuziti. Ja naopak mohu dat zase tobe na oplatku priklad:

Prevedte 0.1 z desitkove soustavy do dvojkove. Myslim, ze s mocninami to bude pracnejsi nez

$\begin{tabular}{l|r}&2\nl\hline0.1&0\nl0.2&0\nl0.4&0\nl0.8&0\nl1.6&1\nl1.2&1\nl0.4&{\rm periodicky}\end{tabular}$ ,

tedy $0.1_{10}=0.0\overline{0011}_2$ .

Rekl bych, ze tema zacina byt vycerpano...

Matematické Fórum

#1 07. 09. 2008 17:04

Číselné soustavy

#2 07. 09. 2008 18:32

Re: Číselné soustavy

#3 08. 09. 2008 13:46 — Editoval Cheop (08. 09. 2008 14:44)

Re: Číselné soustavy

#4 08. 09. 2008 15:41

Re: Číselné soustavy

#5 08. 09. 2008 17:02 — Editoval Chrpa (08. 09. 2008 17:11)

Re: Číselné soustavy

#6 08. 09. 2008 17:04 — Editoval jarrro (08. 09. 2008 17:08)

Re: Číselné soustavy

#7 08. 09. 2008 17:37 — Editoval musixx (08. 09. 2008 17:47)

Re: Číselné soustavy

#8 08. 09. 2008 17:40 — Editoval Chrpa (08. 09. 2008 17:43)

Re: Číselné soustavy

#9 08. 09. 2008 22:50

Re: Číselné soustavy

#10 09. 09. 2008 07:16 — Editoval Cheop (09. 09. 2008 14:46)

Re: Číselné soustavy

#11 09. 09. 2008 10:20 — Editoval Cheop (09. 09. 2008 10:24)

Re: Číselné soustavy

#12 09. 09. 2008 12:11 — Editoval musixx (09. 09. 2008 12:12)

Re: Číselné soustavy

#13 09. 09. 2008 14:19 — Editoval Cheop (09. 09. 2008 14:27)

Re: Číselné soustavy

#14 09. 09. 2008 18:04

Re: Číselné soustavy

#15 09. 09. 2008 18:13

Re: Číselné soustavy

#16 09. 09. 2008 18:17

Re: Číselné soustavy

#17 09. 09. 2008 18:50

Re: Číselné soustavy

#18 10. 09. 2008 08:32 — Editoval musixx (10. 09. 2008 08:32)

Re: Číselné soustavy

#19 10. 09. 2008 09:01 — Editoval Cheop (10. 09. 2008 09:12)

Re: Číselné soustavy

#20 10. 09. 2008 09:40

Re: Číselné soustavy

Zápatí