Matematické Fórum

elypsa · 04. 01. 2012 21:51

Zdravim

narazil jsem na docela pro mě silně neznámé téma, jelikož jsme ho ve škole nebrali, což mě dost překvapuje... Minimálně ne takovéto typy příkladů.

Zatím tu mám pouze tento jeden, zítra se na to hodlám více podívat i s paní Petakovou, takže tu ještě pár dotazů a příkladů z mé strany padne... Snad to není tak hrozné ^^

Počet řešení rovnice $|x^{2}-2|=p$ s reálným parametrem p je pro všechna p z intervalu (0;2) roven ...

(správné řešení 4)

PS: kdyby měl někdo nějaké typy na stránky s touto problematikou, byl bych rád, vážně to je pro mě jedna velká neznámá :(...

mikee · 04. 01. 2012 22:02

↑ elypsa:
Tato rovnica by sa dala riesit napriklad tak, ze umocnime obidve strany rovnice, kedze su obidve nezaporne. Takze $(x^2-2)^2 = p^2$ , z toho $(x^2-2)^2 - p^2 = 0$ , po uprave $(x^2-2-p)(x^2-2+p) = 0$ . Toto plati prave vtedy ak $(x^2-2-p) = 0$ alebo $(x^2-2+p) = 0$ , teda ak $x^2 = 2+p$ alebo $x^2 = 2-p$ . Kedze $p \in (0,2)$ , tak prava strana je vzdy kladna a teda kazda rovnica ma prave dva (zrejme rozne) korene, spolu 4 korene.
Viac o parametrickych rovniciach najdes napriklad na stranke http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=1 v casti 0208.

marnes · 04. 01. 2012 22:09

↑ elypsa:

$|x^{2}-2|=p$
Je to v tomto případě rovnice s AH. Tu musíme odstranit na výraz tentýž
$x^{2}-2$ a výraz opačný $-(x^{2}-2)$

výraz opačný je v intervalu $(-\sqrt{2};\sqrt{2})$ , na zbytku reálných čísel je tentýž

pak řešíme
$x^{2}-2=p$ a víme, že p je z daného intervalu, takže řešíme kvadratickou rovnici $x^{2}=p+2$ a kořeny jsou dva $\mp \sqrt{p+2}$ a oba dva patří do $\mathbb{R}-(-\sqrt{2};\sqrt{2})$

podobně $-(x^{2}-2)=p$ $-x^{2}+2=p$ $x^{2}=2-p$ ....

takže jsou opravdu 4

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2012 21:51

rovnice s parametrem

#2 04. 01. 2012 22:02

Re: rovnice s parametrem

#3 04. 01. 2012 22:09

Re: rovnice s parametrem

Zápatí